2020 ICPC Macau A. Accelerator（期望，计数，分治FFT）（每日一题 21.7.6）

Posted 2021-11-03 繁凡さん

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2020 ICPC Macau A. Accelerator（分治FFT）

Problem

给定长度为 $n$ 的数组 $a_i$ ，对于 $1\sim n$ 的所有的排列 $p_i$ ，计算 $((((0+1)\ast a_{p_1}+1)\ast a_{p_2}+\cdots )+1)\ast a_{p_n}$ 的期望。

$n\le 10^5$

Solution

显然我们把要求的式子展开以后有：

$$val=\prod _{i=1}^n{a}_{p_i}+\prod _{i=2}^n{a}_{p_i}+\cdots +\prod _{i=n}^n{a}_{p_i}$$

考虑对于任意一个排列的乘积，$\prod _i^n{a}_{p_i}$ ，它自己对于答案期望的贡献。

显然期望等于权值乘以概率，对于一段长度为 $i$ 的排列，它的概率显然为 $\frac{i!\times (n-i)!}{n!}$，那么它对答案的贡献显然为 $\prod _i^n{a}_{p_i}\times \frac{i!\times (n-i)!}{n!}$

由于期望的可加性，我们发现对于所有的长度为 $i$ 的排列，它的贡献均为$\prod _i^n{a}_{p_i}\times \frac{i!\times (n-i)!}{n!}$，所以我们可以设 $f_i$ 表示从 $n$ 个数中取 $i$ 个数的乘积和 $f(i)=\sum _{p\in S}\prod _i^n{a}_{p_i}$ ，$S$ 为从 $n$ 个数中取 $i$ 个数的集合。

显然要求的答案期望 $E(x)$ ：

$$\begin{array}{r}E(x)=\frac{\sum _{i=1}^n{f}_i\times i!\times (n-i)!}{n！}\end{array}$$

也就是我们只需要求出 $1\sim n$ 的 $f_i$ 即可。

显然有：

$$f_i=\sum _{j=1}^i{f}_{i-j}\times f_j$$

$f_1=a_i$

发现这显然就是一个自己卷自己的分治FFT的模板，直接用分治FFT $O(n{\log }^{2}n)$ 计算即可。

Hint

CF GNU C++17 (64) = 327 ms，GNU C++17 = 951 ms $\sim$ TLE …

Code

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std; 
using ll = long long;
const int N = 2e5 + 5, mod = 998244353, P = 998244353, MOD = 998244353;

template <typename T> inline void read(T& t) {
    int f = 0, c = getchar(); t = 0; 
    while (!isdigit(c)) f |= c == '-', c = getchar();
    while (isdigit(c)) t = t * 10以上是关于2020 ICPC Macau A. Accelerator（期望，计数，分治FFT）（每日一题 21.7.6）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 The 2020 ICPC Asia Macau Regional Contest B   Boring Problem
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 2018 ICPC Asia Singapore Regional A. Largest Triangle (计算几何)
 ACM-ICPC 2018 徐州赛区网络预赛    A. Hard to prepare
 ACM-ICPC 2017 Asia Urumqi：A. Coins（DP） 组合数学
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