leetcode 546. 移除盒子 区间dp

Posted 2021-11-02 goto_1600

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题意：
每次可以删除连续的相同的数，删除k个贡献为k*k，问删完的最大贡献。
n<=100
思路：
一开始想到的是区间dp，但是二维不知道怎么转移，看了题解，只能说是太难想到了，三维$dp[i][j][k]$代表删除i~j并且i是最后一次删除，并且最后一次删了k个元素的最大值。最后答案就是$ma{x}_{k}dp[0][n-1][k]$，为什么这样一定能求出答案呢，有一个重要的性质是一定能构造出最后的解，因为某次删了k个相同的i，我们可以将它封锁，不去动他，放到最后再删除，也是等价的。因为他是前缀。，然后考虑考虑怎么转移，已经知道了最后一步操作的是i，那么不难想到枚举倒数第二次删除的是啥，dp方程就来了
$dp[i][j][k]=g[i+1][u-1]+k\ast k-(k-1)\ast (k-1)+g[u][j][k-1]$
这里的u是枚举在i和j之间的，同时需要满足color[u]==color[i]
g[i][j]代表所有i到j删除所有不同k的最大值。
最后答案就是g[0][n-1]
代码：

class Solution {
public:
    int removeBoxes(vector<int>& boxes) {
            int n=boxes.size();
            int INF=1e9;
            vector<vector<vector<int>>>dp(n,vector<vector<int>>(n,vector<int>(n+1,-INF)));
            vector<vector<int>>g(n*2,vector<int>(n,0));
            for(int len=1;len<=n;len++){
                for(int i=0;i+len-1<n;i++){
                    int j=i+len-1;
                    for(int k=1;k<=j-i+1;k++){
                        if(len==1){
                            dp[i][j][k]=1;
                        }
                        else if(k==1){
                            for(int t=1;t<=j-i;t++)
                            dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i+1][j][t]+1);
                        }
                        else {
                            for(int u=i+1;u<=j;u++){
                                if(boxes[u]==boxes[i])
                                dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],g[i+1][u-1]+k*k-(k-1)*(k-1)+dp[u][j][k-1]);
                            }
                        }
                        g[i][j]=max(g[i][j],dp[i][j][k]);
                    }
                }
            }

            return g[0][n-1];
    }
};