cf1499D. The Number of Pairs

Posted 2021-11-02 Jozky86

cf1499D. The Number of Pairs

题意：

有t组询问，每组询问给定三个整数c，d，x
问有多少对(a,b)使得$c\ast lcm(a,b)-d\ast gcd(a,b)=x$
$1<=t<=1e4,1<=c,d,x<=1e7$

题解：

可以这样设
设$a=p\ast k,b=q\ast k$,那么$lcm(a,b)=p\ast q\ast k，gcd(a,b)=k$，其中p和q是互质的

将这些值带入数字中得：$c\ast p\ast q\ast k-d\ast k=x$
两边同时除以k
$c\ast p\ast q-d=\frac{x}{k}$
k必须被x整除这个式子才成立
设$x=t\ast k$
那么$c\ast p\ast q-d=t$, t是x的因子
继续化简
$pq=\frac{t+d}{c}$，c必须是t+d的因子式子才成立
设$s=\frac{t+d}{c}$
那么$p\ast q=s$
我们之前已经定义了p和q是互质的，而p和q又是s的因子，因此就是看s有多少个不同的质因子数量，如果有num个，两两可以组成(a,b)对，因此就有$2^{num}$
如何求一个数有多少个不同的质因子数量，我们可以在线性筛的过程中求出
这样对于每次询问，我们先求出x的所有因子t，然后判断t+d是否是c的倍数，答案就是1<<((t+d)/c)
注意，线性筛要求2e7以内的，因为((t+d)/c)最大可以到2e7

代码：

// Problem: D. The Number of Pairs
// Contest: Educational Codeforces Round 106 (Rated for Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/{getProblemIndexes(problemCurrentPageList[i][0])[0]}/problem/D
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 2000 ms
// By Jozky

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
void read(){};
template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar)
{
    x= 0;
    char c= getchar();
    bool flag= 0;
    while (c < '0' || c > '9')
        flag|= (c == '-'), c= getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();
    if (flag)
        x= -x;
    read(Ar...);
}
template <typename T> inline void write(T x)
{
    if (x < 0) {
        x= ~(x - 1);
        putchar('-');
    }
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
    startTime= clock();
    freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
    endTime= clock();
    printf("\\nRun Time:%lfs\\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
const int maxn= 2e7 + 20;
int prime[maxn];
int vis[maxn];
ll num[maxn];
int cnt= 0;
void Prime(int N)
{
    for (int i= 2; i <= N; i++) {
        if (!vis[i]) {
            prime[++cnt]= i;
            num[i]= 1;
        }
        for (int j= 1; j <= cnt && i * prime[j] <= N; j++) {
            vis[i * prime[j]]= 1;
            if (i % prime[j] == 0) {
                num[i * prime[j]]= num[i];
                break;
            }
            num[i * prime[j]]= num[i] + 1;
        }
    }
}
int fac[maxn];
signed main()
{
    //rd_test();
    int t;
    read(t);
    Prime(20000010);
    while (t--) {
        int c, d, x;
        read(c, d, x);
        int tot= 0;
        for (int i= 1; i * i <= x; i++) {
            if (x % i != 0)
                continue;
            fac[++tot]= i;
            if (i * i != x)
                fac[++tot]= x / i;
        }
        ll ans= 0;
        for (int i= 1; i <= tot; i++) {
            if ((fac[i] + d) % c == 0) {
                int s= (fac[i] + d) / c;
                ans+= (1ll << num[s]);
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }
    //Time_test();
}