P1437 [HNOI2004]敲砖块

Posted 2021-11-02 Jozky86

P1437 [HNOI2004]敲砖块

题意：

在一个凹槽中放置了 n 层砖块、最上面的一层有 n 块砖，从上到下每层依次减少一块砖。每块砖都有一个分值，敲掉这块砖就能得到相应的分值，如下图所示：

14 15  4  3  23
 33  33 76  2
   2   13 11
     22 23
       31

如果你想敲掉第 i 层的第 j 块砖的话，若 i=1，你可以直接敲掉它；若 i>1，则你必须先敲掉第 i-1 层的第 j 和第 j+1 块砖。
你现在可以敲掉最多 m 块砖，求得分最多能有多少。

题解：

很明显是动态规划，刚开始设的状态为dp[i][j][k]表示敲第k块砖敲到(i,j)的最大值。但是这样设并没办法求，因为动态规划是无后效性的，而这么设我们需要考虑之前的选择情况
现在就尬住了，无论从上往下还是从下往上都存在后效性影响，那我们可以从左往右推，或者从右往左推
我们开始考虑从右往左推，如果我想打砖块(x,y),我必须将其正上方和右上角的砖块都打了，正上方的砖块是打掉(x,y)所要考虑的，而右上角的砖块可以是由右侧的砖块打掉考虑的
什么意思？看图
现在我们想打蓝色砖块(2,1),两个橙色部分必须已经被打掉了，和蓝色砖块同列的砖块是我们本次要打掉的，而右上角的砖块(1,2),我们可以通过状态转移而来，因为我们是从右往左处理，右边就已经都处理完了，那么(3,2)紫色砖块的情况已经处理完了，如果紫色砖块要打，其上侧的(1,2)砖块也一定是打好的，所有我们就可以由第i+1列的状态转移到第i列的状态
也就是说当处理(i,j)时，本列的砖块需要我们现处理，而右上角的砖块可以前一列(j+1列）的状态得到
这样处理，无后效性

这样就得到：
$$dp[i][j]=ma{x}_{i-1<=p<=n-i}(dp[p][j+1])+\sum _{p=1}^{i}a[p][j]$$
我们再将敲砖块的数量考虑进去
设dp[i][j][k]:表示已经敲了k个砖块，且第k个敲的是(i,j)的最大得分情况
$$dp[i][j][k]=ma{x}_{i-1<=p<=n-i}(dp[p][j+1][k-i])+\sum _{p=1}^{i}a[p][j]$$

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
void read(){};
template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar)
{
    x= 0;
    char c= getchar();
    bool flag= 0;
    while (c < '0' || c > '9')
        flag|= (c == '-'), c= getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();
    if (flag)
        x= -x;
    read(Ar...);
}
template <typename T> inline void write(T x)
{
    if (x < 0) {
        x= ~(x - 1);
        putchar('-');
    }
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
    startTime = clock ();
    freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
    endTime= clock();
    printf("\\nRun Time:%lfs\\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
const int maxn=55;
int dp[maxn][maxn][3020];
int a[maxn][maxn]; 
int sum[maxn][maxn];
int main()
{
    //rd_test();
	int n,m;
	read(n,m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n-i+1;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n-i+1;j++){
			sum[j][i]=sum[j-1][i]+a[j][i];
		}
	}
	memset(dp,-127,sizeof(dp));
	dp[0][n+1][0]=0;
	int ans=0;
	for(int j=n;j>=1;j--){//列 
		for(int i=0;i<=n-j+1;i++){//行 
			for(int k=i;k<=m;k++){
				for(int p=max(0,i-1);p<=n-j;p++){
					if(dp[p][j+1][k-i]!=-1){
						dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[p][j+1][k-i]+sum[i][j]);
						ans=max(ans,dp[i][j][k]);
					}
				}
			}
		}
	}
	cout<<ans;
    //Time_test();
}