AtCoderD - National Railway DP

Posted 2021-11-02 karshey

D

参考：
解析1
解析2
代码参考

DP。
要求a[i][j]+a[x][y]+c(x-i)+c(y-j)的最小值。
其中a[i][j] a[x][y]是数组里的值，c(x-i)+c(y-j)代表从右下到左上的次数\\距离（也就是说，每次dp的最小值如果由上一个推得就加一个c就好了）。

用dp[i][j]表示从1到i，1到j中最小值。因此，每个dp都可以由左边的+c，上面的+c，和a[i][j]本身比较最小值取得。

如：
1 2 3 2
4 0 2 1
这里dp[2][4]就是0，表示从(1,1)到(2,4)的最小值是0；
dp[2][3]就表示：
1 2 3 
4 0 2  即左边的小矩阵的最小值
dp[1][4]就表示：
1 2 3 2 即上面的小矩阵的最小值
再与a[i][j]比较，就相当于把整个[2][4]矩阵范围涵盖。即可知这个范围内的最小值。

f[i][j]表示a[i][j]这个点一定要取，然后在[i][j]范围内找一个最小的距离。
则遍历所有f[i][j]就是答案。

注意：要分别从左上到右下，右上到左下遍历一次。
不然可能出现一组的答案本来最小，但因是从左边开始数就不是最小的情况。
即，距离c不分从左到右或从右到左。

而且，ans要初始化为1e18.因为开了LL。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a));
#define db double 
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
//======================
const int N=1e3+10;
int w,h,c;
ll a[N][N];ll dp[N][N],f[N][N];
//dp[i][j]：1-i，1-j范围内最小的建站的费用 
//f[i][j]表示ij若必选的最小费用 
ll ans=1e18;
int main()
{
	cin>>h>>w>>c;
	for(int i=1;i<=h;i++)
		for(int j=1;j<=w;j++)
			{
				int t;scanf("%lld",&a[i][j]);				
			}
	
	mem(dp,0x3f);
	mem(f,0x3f);
	
	//左上到右下 
	for(int i=1;i<=h;i++)
		for(int j=1;j<=w;j++)
		{
			//这个范围内的最小值 
			dp[i][j]=min(min(dp[i-1][j]+c,dp[i][j-1]+c),a[i][j]);
			//这个位置必选，它与它范围内的搭桥的最小值
			f[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+a[i][j]+c;
			ans=min(ans,f[i][j]);
		}
		
	mem(dp,0x3f);
	mem(f,0x3f);
	
	//右上到左下		
	for(int i=1;i<=h;i++)
		for(int j=w;j>=1;j--)
		{
			dp[i][j]=min(min(dp[i-1][j]+c,dp[i][j+1]+c),a[i][j]);
			f[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j+1])+a[i][j]+c;
			ans=min(ans,f[i][j]);
		}
	
	cout<<ans;
	return 0; 
}