困扰70年的数学难题，华人带领MIT本科生用一个暑期项目就解决

Posted 2021-11-01 人工智能博士

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转载于 ：新智元

等角线(Equiangular lines) 是空间中通过一个点的线，它们的成对角都相等。

对于∠AOB，以及射线OX，若射线OY使得∠AOX=∠YOB，则称OY是OX关于∠AOB的等角线。

在三维甚至更高维度也存在等角线，并且在高维度上，等角线变得更有趣，因为等角的可能性几乎是无限的，这个问题也困扰了数学界近70年。

但最近的一篇论文，根据MIT华人助理教授Yufei Zhao和数学家团队的说法，它们并不是无限的，并且他们试图在高维空间中的线几何上解决这个问题。

这个突破性进展决定了可以放置的等角线的最大可能数量，以便线以相同的给定角度成对分开。文章的作者除了Yufei Zhao外，还包括本科生Yuan Yao和Shengtong Zhang、博士生Jonathan Tidor和博士后Zilin Jiang。这篇论文将发表在 2022 年 1 月的Annals of Mathematics上。

Yufei Zhao 于2017年7月加入MIT 数学系担任助理教授，2010年获得麻省理工学院数学和计算机科学双学士学位，2011年获得剑桥大学数学硕士学位，2015年获得麻省理工学院博士学位，还在牛津大学新学院数学系担任过初级研究员，以及加州大学伯克利分校西蒙斯计算理论研究所的研究员。他的主要研究领域是组合学，对组合学中的极值、概率和加法问题以及与数学和理论计算机科学其他领域的联系感兴趣，并一直致力于开发将图论与加性组合学（additive combinatorics）联系起来的工具。

赵博士曾获得 SIAM Dénes Kőnig 奖（2018 年）、麻省理工学院科学学院未来科学奖（2018 年）、1956 届职业发展教授职位（2018-2021 年）、斯隆研究奖学金（2019 年）和 NSF 职业奖（2021 年）。

等角线的数学表示可以用图论编码，这篇论文为一个被称为谱图论（spectral graph theory）的数学领域提供了新的见解，它为研究网络提供了数学工具。谱图理论已经导致了计算机科学中的重要算法，如谷歌搜索引擎的PageRank算法。

这种对等角线的新理解对编码和通信具有潜在的意义。等角线是球面代码（spherical codes）的例子，也是信息理论中的重要工具，允许不同方面通过嘈杂的通信信道相互发送信息，如NASA与其火星探测器之间发送的信息。

P.W.H.Lemmens和J.J.Seidel在1973年的一篇论文中介绍了研究给定角度的最大等角线数的问题。

普林斯顿大学数学教授Noga Alon认为这是一个漂亮的结果，为一个在60年代就开始受到广泛关注的极值几何研究问题提供了一个令人惊讶的尖锐答案。

在这篇论文之前也有一些不错的想法，但后来研究人员陷入困境近三年，直到几年前，包括苏黎世联邦理工学院 (ETH) 数学教授Benny Sudakov在内的一组研究人员取得了一些重要进展。

2018 年 2 月，赵博士主持了Sudakov对麻省理工学院的访问，当时Sudakov在组合学研究研讨会上谈到了他在等角线方面的工作。

这个工作也给论文的一作Zilin Jiang 一些灵感，但更多灵感来源于他在卡内基梅隆大学的前博士顾问Bukh Boris的等角线问题工作。他后来和赵博士在2019年夏天合作，Tidor、Yuan和Zhang后来也加入了合作。

这篇工作刚开始就是作为一个暑期研究项目进行开展的，因为这是一个需要解决的大问题，根本不可能短时间解决，最好的情况也只是取得一些不错的进展，但事实上，完全解决等角线问题超出了所有人的预期。

这项研究得到了Alfred P. Sloan基金会和国家科学基金会的部分支持。Yao和Zhang通过数学系的本科生暑期研究项目（ Summer Program for Undergraduate Research， SPUR）参与了这项研究，Tidor是他们的研究生导师。这篇论文也获得了Hartley Rogers Jr. Prize，SPUR 的最佳论文。

这也是 SPUR 计划最成功的成果之一，类似这种长期悬而未决的问题并不是每天都能得到解决。

解决方案中使用的关键数学工具之一称为谱图理论。谱图论告诉我们如何使用线性代数的工具来理解图和网络。图的「谱」是通过将图变成矩阵并查看其特征值来获得的。

这就好像你在图形上照射一束强光，然后检查出来的颜色光谱，研究结果发现发射的光谱永远不会太集中在顶部附近。事实证明，这个关于图谱的基本事实从未被观察到。

这项工作给出了谱图论中的一个新定理——有界度图（bounded degree graph）必须具有次线性的第二特征值多重性。证明需要聪明的洞察力，将图的频谱与图的小片段的频谱相关联。

论文中的结果又一次证明了数学之美，作者表示，The proof worked out cleanly and beautifully。

参考资料：

https://news.mit.edu/2021/mathematicians-solve-old-geometry-problem-equiangular-lines-1004

https://yufeizhao.com/

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