数据结构初阶第一篇——算法中的时间复杂度和空间复杂度[建议收藏]

Posted 2021-10-31 呆呆兽学编程

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构初阶第一篇——算法中的时间复杂度和空间复杂度[建议收藏]相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

本篇博客我要给大家分享一下算法中的时间复杂度和空间复杂度。希望对大家有所帮助。
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算法效率

衡量一个算法的好坏我们看的是这个算法的效率。算法的效率由时间和空间两个维度来衡量，也就是我们这篇博客将要讨论的两个话题——时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度的概念

在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。（来源：百度百科）
我们先来看一下下面这一串代码，计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	//代码1
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
	//代码2
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	//代码3
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\\n", count);
}

在代码1中++count执行了N*N次
在代码2中++count执行了N次
在代码2中++count执行了10次
所以总共执行次数为（N^2+N+10）次。
我们得到只有一个函数关系：
F(N)=N^2+N+10

当N足够大时F(N)的大小主要由N^2决定，实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，所以这里我们使用大O的渐进表示法。
什么是大O渐进表示法呢？

大O渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

所以上面所说的F(N)=N^2+N+10函数用大O渐进表示法得到的结果是O(N ^ 2)，这样我们就舍去了影响不大的项，简单明了地表示出了执行的次数。
通常算法的时间复杂的分为三种：最好，最坏和平均。
时间复杂度做的是悲观预期，所以时间复杂度看的是最坏的情况。

时间复杂度计算的案例

案例1

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\\n", count);
}

计算上面一串代码的时间复杂度是多少？

第一个循环执行了2*N次，第二个循环执行了10次。总共执行了 2 * N+10次。
最高阶项是2 * N，所以时间复杂度是O(N)。

案例2

void Func2(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\\n", count);
}

计算上面一串代码的时间复杂度是多少？

第一个循环执行了M次，第二个循环执行了N次。总共执行了 M+N次。
最高阶项是M和N，所以时间复杂度是O(M+N)
当M>>N时，时间复杂度是O(M)
当M近似等于N时，时间复杂度是O(M+N)
当M<<N时，时间复杂度是O(N)

案例3

void Func3(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\\n", count);
}

计算上面一串代码的时间复杂度是多少？

这个循环执行了100次，总共执行了100次。
最高阶项是100，执行次数为常数次，所以时间复杂度是O(1)。

案例4

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr(const char * str, int character);

strchr是一个在字符串中查找某个字符的算法，计算strchr的时间复杂度？

在一个字符串中查找一个字符，肯定要变量这个字符串，所以会利用循环，遍历长度次，由于长度是未知的，所以最高阶项N。
最好是1，最坏是N，平均是N/2，由于时间复杂度的计算看的是最坏的情况，所以时间复杂度是O(N)。

案例5

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

计算BubbleSort的时间复杂度？

执行次数为(n-1)+…2+1
这是一个等查数列求和，结果是n *（n-1）/2。
最高阶项是N ^ 2，所以时间复杂度是O(N ^ 2)

案例6

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

计算一下二分查找算法的时间复杂度？

案例7

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	return Fac(N - 1)*N;
}

计算阶乘递归Fac的时间复杂度？

计算F(N)，利用递归调用F(N) = N*F(N-1)
F(N-1) = (N-1) * F(N-2)
F(N-2) = (N-2) * F(N-3)
…
F(2) = 2 * F(1)
F(1) = 1
这样一共递归调用了N次，所以时间复杂度是O(N)。

案例8

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？

空间复杂度

空间复杂度的概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

空间复杂度计算的几个实例

实例1

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

计算BubbleSort的空间复杂度？

这串代码中开辟了exchange，end和i三个变量的空间，也就是常数个空间，所以空间复杂度是O(1)

实例2

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;
	long long * fibArray = (long long *)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

计算Fibonacci的空间复杂度？

这里动态内存申请了一块（n+1）个大小的空间，其它都是常数次，所以空间复杂度为O(N)

实例3

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;
	return Fac(N - 1)*N;
}

计算阶乘递归Fac的空间复杂度？

计算F(N)，利用递归调用F(N) = N*F(N-1)
F(N-1) = (N-1) * F(N-2)
F(N-2) = (N-2) * F(N-3)
…
F(2) = 2 * F(1)
F(1) = 1
这样一共递归开辟了N个函数栈帧，所以空间复杂度是O(N)。

实例4

// 计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？

上面我们也分析过了，这个函数会递归调用2^n-1次，会建立 2 ^ n-1次函数栈帧，所以说空间复杂度是O(2 ^ n)吗？
当然不能这样想，因为空间是可以重复利用，然而时间是一区不复返的。有一部分栈帧是利用同一块空间，最多利用N个函数栈帧的空间，所以空间复杂度是O(N)。

总结

本片博客就简单的分享到这了，欢迎大家指正和点赞支持~

以上是关于数据结构初阶第一篇——算法中的时间复杂度和空间复杂度[建议收藏]的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

数据结构初阶第九篇——八大经典排序算法总结（图解+动图演示+代码实现+八大排序比较）

C++初阶第十一篇——list（list常见接口的用法与介绍+list的模拟实现+list迭代器原理）

数据结构初阶文章汇总！

《数据结构与算法》第一篇

数据结构初阶学习笔记一数据结构介绍及算法分析（建议收藏！！！）

数据结构初阶第一篇——算法中的时间复杂度和空间复杂度[建议收藏]

目录

算法效率

时间复杂度

时间复杂度的概念

大O渐进表示法

时间复杂度计算的案例

案例1

案例2

案例3

案例4

案例5

案例6

案例7

案例8

空间复杂度

空间复杂度的概念

空间复杂度计算的几个实例

实例1

实例2

实例3

实例4

总结