[CF1411E]Poman Numbers

Posted 2021-10-31 StaroForgin

Poman Numbers

题解

我们发现根据我们的$f(S)$函数的表达式，可以发现，对于任意的$s_i$，它对答案的贡献只会是$+2^{s_i{-}^{\prime }{a}^{\prime }}$或者$-2^{s_i{-}^{\prime }{a}^{\prime }}$，也就是说，它跟前的系数只会是$+1$或$-1$。
而一个数的正负相当于它被传进$-f(S[1,m])$的次数的奇偶性，我们可以将我们的函数执行的整个过程看作一棵二叉树的过程，往左儿子传就是$-$，往右儿子传就是正$+$，所有非叶节点均有$2$个儿子。
那么，一个点系数的$\pm$就是由根走到该节点的路径上向左儿子走的次数。

由于$m$是可以由我们定义的，我们当然可以调整这颗树的形态。
我们可以从叶子节点开始不断合并构造出这棵树。
对于点$n$，它无论跟谁合并都是右儿子，所以它的系数只能是$+1$。
对于点$n-1$，它只有与$n$合并时能成为左儿子，它又必须更$n$合并一次，所以他的系数只能是$-1$。

对于$i⩽n-2$，它的系数既可以是$+1$也可以是$-1$，下面给出一种构造方法。
它开始就与$i+1$合并，之后一直随$i+1$一起运动，这样的话它的左儿子次数只比$i+1$多最开始的$1$，系数与$i+1$相反。
它也可以在$i+1$与$i+2$合并后与$i+1$合并，由于$i+1$在合并$i$或$i+2$之前不可能与任何数合并，所已它与$i+2$合并时只会成为一次左儿子，$i$现在合并进来，也只会成为一次左儿子，之后随$i+1$一起运动，系数与$i+1$相同。
所以，我们可以先对$t$减去$2^{s_n{-}^{\prime }{a}^{\prime }}-2^{s_{n-1}{-}^{\prime }{a}^{\prime }}$，再判断能否用其它数构造出$t$。

实际上我们可以贪心的方法判断我们是否能够构造出$t$，这也是个相当经典的方法。
我们可以先将所有的$s_i$从大到小排序，再依次对$t$进行操作，当$t<0$的时候让$t$加上$2^{s_i{-}^{\prime }{a}^{\prime }}$，$t>0$的时候就减去。
如果最后$t$为$0$，那么我们就可以构造出$t$，否则不行。

时间复杂度$O\left(n\log n\right)$

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;     
const int INF=0x3f3f3f3f;  
const int mo=998244353;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int n1=50;
const int zero=10000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<LL,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){putchar('\\n');while(x>9){putchar((x%10)|'0');x/=10;}putchar(x|'0');}
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,sum[MAXN],a[MAXN];LL pow2[MAXN],T;
char str[MAXN];
signed main(){
	read(n);read(T);scanf("%s",str+1);
	pow2[0]=1;for(int i=1;i<26;i++)pow2[i]=pow2[i-1]+pow2[i-1];
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=str[i]-'a';T-=(1LL<<a[n])-(1LL<<a[n-1]);
	int tp=0;sort(a+1,a+n-1);T=Fabs(T);LL now=0;
	for(int i=n-2;i>0;i--){
		if(now<=T)now+=pow2[a[i]];else now-=pow2[a[i]];
		//printf("%d:%d\\n",i,a[i]);	
	}
	if(now==T)puts("Yes");else puts("No");
	return 0;
}

谢谢！！！