abcE-Xor Distance思维拆位

Posted 2021-10-30 hesorchen

题目

E - Xor Distances

给出一颗带边权的树。求所有简单路径异或和。

解题思路

找任一结点x为根结点。记F(u,v)为u到v简单路径的异或值。

对于两个结点u，v，设w为uv的最近公共祖先，有

F(u,v)
= F(u,w) ^ F(w,v)
= F(u,w) ^ F(w,v) ^ F(x,w) ^ F(x,w)
= F(u,x) ^ F(x,v)

由于异或值每一位互不影响，因此可以拆位考虑。设$DP[i][j][k]$为子树中所有结点 到结点$i$、第$j$位、异或值为$k$的路径数。处理完$DP[root][j][k]$之后，对于每一位计算贡献，会产生贡献的路径分为两种，第一种

1. 终点为root的路径，也就是$DP[root][j][1]$的数量

2. 终点不为root的路径，取一个异或值为1的路径、一个异或值为0的路径，只有这时异或值还是1，会产生贡献。也就是$DP[root][j][0]\times DP[root][j][1]$

代码

#include <vector>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;
const long long mod = 1e9 + 7;

vector<pair<int, long long>> mp[N];
long long dp[N][62][2];

void dfs(int u, int fa)
{
    for (auto temp : mp[u])
    {
        int v = temp.first;
        long long w = temp.second;
        if (v == fa)
            continue;
        dfs(v, u);
        for (int i = 0; i <= 60; i++)
            dp[u][i][(1ll << i) & w ? 1 : 0]++;
        for (int i = 0; i <= 60; i++)
        {
            int res = (1ll << i) & w ? 1 : 0;
            for (int j = 0; j <= 1; j++)
                dp[u][i][j] += dp[v][i][res ^ j];
        }
    }
}

void solve()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int u, v;
        long long w;
        scanf("%d %d %lld", &u, &v, &w);
        mp[u].emplace_back(make_pair(v, w));
        mp[v].emplace_back(make_pair(u, w));
    }
    dfs(1, -1);
    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i <= 60; i++)
    {
        long long cnt = (dp[1][i][1] + dp[1][i][1] * dp[1][i][0]) % mod;
        if (dp[1][i][1])
            ans = (ans + (1ll << i) % mod * cnt % mod) % mod;
    }
    printf("%lld\\n", ans);
}

int main()
{
    solve();
    return 0;
}