算法设计与分析：第二章总结

Posted 2021-10-29 Frozen_Guardian

主定理求解递归式的复杂度

网上的正式说法看不懂， 按照自己理解整理的，如有错误欢迎指正。

设递推式为 $T(n)=aT(\frac{n}{b})+\Theta (n^k),k\ge 0$ ，其中 $n$ 为问题规模，$a$ 为递推子问题的数量，$\frac{n}{b}$ 为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样），则：

1. 如果 ${\log }_{b}a<k$，$T(n)=\Theta (n^{{\log }_{b}a})$
2. 如果 ${\log }_{b}a=k$，$T(n)=\Theta (n^{{\log }_{b}a}\log n)$
3. 如果 ${\log }_{b}a>k$，$T(n)=\Theta (n^k)$

分治范例

1.二分搜索技术

适用于具有单调性的集合中，每次可以将集合规模下降为原来的一半，时间复杂度为 $O(\log n)$。

具有单调性的集合简单来说就是，如果 $a[x]$ 满足条件，那么 $a[x-1]$ 一定满足条件；如果 $a[y]$ 不满足条件，那么 $a[y+1]$ 一定不满足条件。反之亦然。

2.大整数乘法

MTT中也用到了类似的方法用来降低复杂度，本质就是将一个数字用多项式表示，然后用多项式卷积表示原式，通过大量的魔改后降低数乘的次数从而达到降低复杂度的目的。

简单来说如果需要计算 $X\ast Y$：
$$X=A\ast w+B$$ $$Y=C\ast w+D$$
那么
$$XY=AC{w}^2+ADw+BCw+BD$$

最终魔改成
$$XY=AC{w}^2+((A-B)(D-C)+AC+BD)w+BD$$

当 $w=2^{\frac{n}{2}}$ 时，不难看出规模降低了一倍，利用主定理计算复杂度为 $O(n^{{\log }_{2}3})$

所以为什么不用简单粗暴的FFT呢，明明FFT也是分治呀

十进制的数字不难拆成一个 $x=10$ 的多项式，即 $123=3+2\ast 10+1\ast 10^2$，所以两个整数相乘可以视为两个多项式相乘，利用 FFT 加速可以做到 $O(n\log n)$ 的复杂度。

3.Strassen矩阵乘法

原来这就是去年从zx学长那里听闻的 $O(n^{2.81})$ 矩阵乘法

本质上和大整数乘法的优化思路一致，也是先分治，然后魔改降低矩阵相乘的次数。

4.棋盘覆盖

很有意思的一道题，因为原问题中有且仅有一个位置是特殊方格，而我们可以用来填充的方块刚好是三个，而矩阵边长也是二的幂次，所以一系列数字都引导我们将原问题划分为四个子问题。

划分出来的四个子问题可以简单分为两种，一种是原本就包含特殊方块的子问题，还有一种就是并不包含特殊方块的子问题。所以我们不妨将第二种子问题拼接的位置都扣去，填上一个 “L” 形骨牌，并将其标记为特殊方块，于是问题得以划分。

5.合并排序

6.快速排序

7.选择问题求第k小

8.最近点对问题

9.循环赛日程表