BZOJ 2139 road（构造，最小生成树）BZOJ 修复工程

Posted 2021-10-29 繁凡さん

整理的算法模板合集： ACM模板

点我看算法全家桶系列！！！

实际上是一个全新的精炼模板整合计划

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题目链接

https://hydro.ac/d/bzoj/p/2139

是 hydro 的 BZOJ 修复工程 ！（我也去领了一点题慢慢修着玩，这题就是我修的嘿嘿嘿）

题目描述

很久很久以前，中原地区分成了 $N$ 个国家，编号为 $1\sim N$，任意两个国家都可互达。每个国家有一个攻击值 $A_i$ 和防御值 $B_i$ 。定义一个人从 $i$ 国去 $j$ 国的危险值为：假如 $A_i>B_j$ ，则危险值为 $A_i^2-B_j^2$，否则危险值为 $0$ 。现在，Nan从国家 $1$ 出发，经过每一个国家有且仅有一次，最后回到国家 $1$ ，要求找出一种方案，使得其中危险值的最大值最小。

输入格式

第一行正整数 $N$ ，表示有 $N$ 个国家；

第二行正整数 $A_1,A_2,x,y,z$，有等式 $A_i=(x\times A_{i-1}+y\times A_{i-2}+z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}32767$；

第三行正整数 $B_1,B_2,x,y,z$，有等式 $B_i=(x\times B_{i-1}+y\times B_{i-2}+z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}32767$。

输出格式

输出一个数,表示危险值的最大值最小是多少。

5
2 4 1231 4432 123
123 45 3245 555 6676

9171832

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据， $N\le 10^6$

提示

样例说明：

A数组为 $2,4,13911,5151,3031$ 。
B数据为 $123,45,24364,26060,21765$。
其中一种最优方案为 $1-2-4-3-5-1$，危险值分别为 $0,0,0,0,9171832$。

Solution

解题思路来源：https://www.cnblogs.com/Apocrypha/p/9574196.html
但这个思路总感觉不太对劲（）至少我太不会证明

根据题目中权值的特殊要求，我们显然在连边的时候，一定是尽量减少两点间 $a$ 和 $b$ 之间的差距，每个点有 $a$ ，$b$ 两个信息，而题目中要求的是 最大值最小，并求出这个最小值。

所以我们只需要把这个图建出来，取图中所有边的最小值即可。考虑最大值最小，显然我们将 $a$，$b$ 之间的差值均衡分配一下即可。即 $a$ 和 $b$ 按照从小到大的顺序排序，然后 $a_i$ 与 $b_i$ 相连。

这样整张图就变成了一个最大值最小的，由若干个环组成的图。

将这些环连通即可。边取最小值使得图连通，显然就是最小生成树。我们考虑构图，继续均衡差值，将 $a_i$ 与 $b_i-1$ 再次相连，求最小生成树，途中使用的边中取最大值即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
const int maxn = 1e6 + 7;
const int p = 32767;

struct node
{
	ll v;
	int id;
	bool operator < (const node &t) const {
		return v < t.v;
	}
}a[maxn], b[maxn], c[maxn];

int n, m, s, t, x, y, z;
int fa[maxn];
ll ans;

int Find(int x)
{
	if(fa[x] == x) return x;
	return fa[x] = Find(fa[x]);
}

int main()
{
	scanf("%d%lld%lld%d%d%d", &n, &a[1].v, &a[2].v, &x, &y, &z);
	
	for (int i = 3; i <= n; ++ i) 
		a[i].v = (1ll * x * a[i - 1].v % p + 1ll * y * a[i - 2].v % p + z) % p;
	scanf("%lld%lld%d%d%d", &b[1].v, &b[2].v, &x, &y, &z);
	for (int i = 3; i <= n; ++ i)
		b[i].v = (1ll * x * b[i - 1].v % p + 1ll * y * b[i - 2].v % p + z) % p;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i)
		a[i].id = b[i].id = i;
	sort(a + 1, a + 1 + n);
	sort(b + 1, b + 1 + n);
 
	for (int i = 1; i <= n; ++ i)
		fa[i] = i;
	
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		int fx = Find(a[i].id);
		int fy = Find(b[i].id);
		if(a[i].id == b[i].id) continue;
		fa[fx] = fy;
		ans = max(ans, a[i].v * a[i].v - b[i].v * b[i].v);
	}
	for (int i = 2; i <= n; ++ i)
		c[i - 1] = (node){a[i].v * a[i].v - b[i - 1].v * b[i - 1].v, i};
	sort(c + 1, c + n);
	for (int i = 1; i < n; ++ i) {
		int fx = Find(a[c[i].id].id);
		int fy = Find(b[c[i].id - 1].id); 
		if(fx != fy) { 
			fa[fx] = fy;
			ans = max(ans, c[i].v);
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}