BZOJ 2131 免费的馅饼（DP，二维偏序问题 / 旋转坐标轴转化问题）BZOJ 修复工程

Posted 2021-10-29 繁凡さん

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题目链接

https://hydro.ac/d/bzoj/p/2131

是 hydro 的 BZOJ 修复工程 ！（我也去领了一点题慢慢修着玩，这题就是我修的嘿嘿嘿）

题目描述

SERKOI 最新推出了一种叫做 “免费馅饼” 的游戏：游戏在一个舞台上进行。舞台的宽度为 $w$​​ 格（从左到右依次用 $1\sim w$​ 编号），游戏者占一格。开始时游戏者可以站在舞台的任意位置，手里拿着一个托盘。下图为天幕的高度为 $4$ 格时某一个时刻游戏者接馅饼的情景。

游戏开始后，从舞台天幕顶端的格子中不断出现馅饼并垂直下落。游戏者左右移动去接馅饼。游戏者每秒可以向左或者向右移动一格或两格，也可以以站在原地不动。

当馅饼在某一时刻恰好到达游戏者所在的格子中，游戏者就收集到了这块馅饼。当馅饼落在一个游戏者不在的格子里时该馅饼就消失。

写一个程序，帮助我们的游戏者收集馅饼，使得所收集馅饼的分数之和最大。

输入格式

第一行是用空格隔开的两个正整数，分别给出了舞台的宽度 $w$ 和馅饼的个数 $n$。

接下来 $n$ 行，每一行给出了一块馅饼的信息。由三个正整数组成，分别表示了每个馅饼落到舞台上的时刻 $t_i$，掉到舞台上的格子的编号 $p_i$，以及分值 $v_i$。

游戏开始时刻为 $0$ 。输入文件中同一行相邻两项之间用一个空格隔开。输入数据中可能存在两个馅饼的 $t_i$ 和 $p_i$ 都一样。

输出格式

一个数，表示游戏者获得的最大总得分。

输入样例

3 4
1 2 3
5 2 3
6 3 4
1 1 5

输出样例

12

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据，$1\le w\le 10^8$，$1\le n\le 10^5$，$1\le t_i\le 10^8$，$1\le p_i\le w$，$1\le v_i\le 1000$

Solution

比较简单的一道题。

显然考虑 DP 。

设 $f[i]$ 表示接住第 $i$ 个馅饼以后能获得的最大的分数。

显然有转移方程：

f [ i ] = max ⁡ { f [ j ] ∣ ∣ p i − p j ∣ ≤ 2 × ( t i − t j ) } + v i f[i] = \\max\\{f[j]\\mid |p_i-p_j|\\le 2\\times (t_i-t_j)\\} + v_i f[i]=max{f[j]∣∣pi​−pj​∣≤2×(ti​−tj​)}+vi​

直接转移显然是 $O(n^2)$ 的，$n\le 10^5$，考虑优化。

显然我们可以从转移的条件 $j$ 入手。对于每一个可以转移到 $i$ 的 $j$ ，需要满足条件： $|p_i-p_j|\le 2\times (t_i-t_j)$，展开后有：

$$\begin{gathered} |p_i-p_j|\le 2\times (t_i-t_j) \\ -2\times (t_i-t_j)\le p_i-p_j\le 2\times (t_i-t_j) \\ 2\times t_i-p_i\ge 2\times t_j-p_j\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}2\times t_i+p_i\ge 2\times t_j+p_j \end{gathered}$$
设 $a_1=2\times t_i-p_i,a_2=2\times t_i+p_i$，显然我们只需要按照 $a_1$ 之后就不需要判断条件 $2\times t_i$

免费的馅饼 HYSBZ - 2131 （树状数组维护二维偏序）

bzoj 2131: 免费的馅饼

[bzoj2131]免费的馅饼_树状数组

bzoj2131: 免费的馅饼

[bzoj]2131: 免费的馅饼