BZOJ 1799 [Ahoi2009] self 同类分布（数位DP）BZOJ千题计划（quexin

Posted 2021-10-29 繁凡さん

整理的算法模板合集： ACM模板

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实际上是一个全新的精炼模板整合计划

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题目链接

https://hydro.ac/d/bzoj/p/1799（样例时限设置有问题，应该为 $2s$）

https://www.luogu.com.cn/problem/P4127

题目描述

给出 $a,b$，求出 $[a,b]$ 中各位数字之和能整除原数的数的个数。

$1\le a\le b\le 10^{18}$

Solution

显然考虑数位DP。

设 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}$ 表示数的各位数值和， $\mathrm{s}\mathrm{t}$ 表示当前的数

显然当前的数合法，当且仅当 $\mathrm{s}\mathrm{t}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m})$

但是这里 $\mathrm{s}\mathrm{t}\le 10^{18}$，显然无法枚举，题目中有模数 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}$，所以我们这里考虑取模。

但是不同的状态，$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}$ 是在动态调整的，$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}$ 很小，我们可以直接枚举 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$，统计答案的时候判断二者是否相等以及是否满足 $\mathrm{s}\mathrm{t}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m})$ 即可。

实现直接套用记忆化搜索数位DP的模板即可。

模板详见：https://www.luogu.com.cn/blog/virus2017/shuweidp

我们记录位置 $\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}$ ，数值和 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}$，当前的数 $\mathrm{s}\mathrm{t}$，以及限制 $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}$。

若当前位 $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}=1$ 而且已经取到了能取到的最高位时，下一位 $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}=1$ ； 若当前位
$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}=1$ 但是没有取到能取到的最高位时，下一位 $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}=0$ ； 若当前位
$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}=0$ 时，下一位 $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}=0$ 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int maxn = 200 + 7;

int n, m, s, t;
ll ans;
int len, a[20], mod;
ll l, r;
ll f[20][maxn][maxn];

ll dfs(int pos, int sum, ll st, int limit)
{
	if(pos > len && sum == 0) return 0;
	if(pos > len) return st == 0 && sum == mod ? 1 : 0;
	if(limit == 0 && f[pos][sum][st] != -1)
		return f[pos][sum][st];
	ll res = 0;
	int tmp = limit ? a[len - pos + 1] : 9;
	for (int i = 0; i <= tmp; ++ i) 
		res += dfs(pos + 1, sum + i, (st * 10 + i) % mod, i == tmp && limit);
	return limit ? res : f[pos][sum][st] = res;
}

ll count(ll x)
{
	len = 0;
	while(x) 
		a[ ++ len] = x % 10, x /= 10;
	ll res = 0;
	for (mod = 1; mod <= 9 * len; ++ mod) {
		memset(f, -1, sizeof f);
		res += dfs(1, 0, 0, 1);
	}
	return res;
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld", &l, &r);
	printf("%lld\\n", count(r) - count(l - 1));
	return 0;
}