BZOJ 2152 「国家集训队」聪聪可可（点分治）BZOJ计划

Posted 2021-10-29 繁凡さん

整理的算法模板合集： ACM模板

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实际上是一个全新的精炼模板整合计划

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题目链接

https://hydro.ac/d/bzoj/p/2152

是 hydro 的 BZOJ 修复工程 ！

https://www.luogu.com.cn/problem/P2634

Problem

聪聪和可可是兄弟俩，他们俩经常为了一些琐事打起来，例如家中只剩下最后一根冰棍而两人都想吃、两个人都想玩儿电脑（可是他们家只有一台电脑）……遇到这种问题，一般情况下石头剪刀布就好了，可是他们已经玩儿腻了这种低智商的游戏。

他们的爸爸快被他们的争吵烦死了，所以他发明了一个新游戏：由爸爸在纸上画 $n$ 个“点”，并用 $n-1$ 条“边”把这 $n$ 个「点」恰好连通（其实这就是一棵树）。并且每条「边」上都有一个数。接下来由聪聪和可可分别随即选一个点（当然他们选点时是看不到这棵树的），如果两个点之间所有边上数的和加起来恰好是 $3$ 的倍数，则判聪聪赢，否则可可赢。

聪聪非常爱思考问题，在每次游戏后都会仔细研究这棵树，希望知道对于这张图自己的获胜概率是多少。现请你帮忙求出这个值以验证聪聪的答案是否正确。

Solution

树上路径信息问题显然考虑点分治。

由于树上路径只有两种情况：经过根和不经过根。通过点分治将不经过根的情况看作经过根的子问题来解决即可。

题目要求计算 $3$ 的倍数的路径条数，所以我们只需要统计路径长度 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$ 即可。

设 $\mathrm{c}\mathrm{n}\mathrm{t}[0/1/2]$ 表示路径长度 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3$ 后的条数。

显然 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ 的路径与 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ 拼凑在一起就是 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ ，由于点对不同顺序是不同方案，所以这种情况对答案的贡献为 $\mathrm{c}\mathrm{n}\mathrm{t}[1]\times \mathrm{c}\mathrm{n}\mathrm{t}[2]\times 2$。

对于 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ 的路径中，任选两点均符合题意，我们可以选择同一个结点，对答案的贡献方案数为 $\mathrm{c}\mathrm{n}\mathrm{t}[0]\times \mathrm{c}\mathrm{n}\mathrm{t}[0]$。

但是这样会多统计一些非经过根的路径，即在子树内部，未经过该分治点（根节点）的路径，我们计算以分支点的子结点的贡献减去即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int maxn = 1e5 + 7, maxm = maxn << 1 | 7, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, s, t;
ll ans;
int head[maxn], ver[maxm], nex[maxn], tot;
ll edge[maxn];
bool vis[maxn];
int siz[maxn];
int min_size;
int root;
ll dist[maxn];
ll cnt[50];

void init()
{
	memset(head, -1, sizeof head);
	memset(vis, 0, sizeof vis);
	tot = 0;
}

void add(int x, int y, int z)
{
	ver[tot] = y;
	edge[tot] = z;
	nex[tot] = head[x];
	head[x] = tot ++ ;
}

void get_root(int x, int fa, int n)
{
	siz[x] = 1;
	int max_size = 0;
	for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {
		int y = ver[i]; 
		if(y == fa || vis[y]) continue; 
		get_root(y, x, n);
		siz[x] += siz[y];
		max_size = max(max_size, siz[y]);
	}
	max_size = max(max_size, n - siz[x]);
	if(max_size < min_size)
		min_size = max_size, root = x;
}

void get_vertex_root_dist(int x, int fa)//非子结点到根的距离
{
	cnt[dist[x]] ++ ;
	for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {
		int y = ver[i];
		ll z = edge[i];
		if(y == fa || vis[y]) continue;
		dist[y] = (dist[x] + z) % 3;
		get_vertex_root_dist(y, x);
	}
}

ll cal(int x, ll z)
{
	memset(cnt, 0, sizeof cnt);
	dist[x] = z;
	cnt[dist[x]] ++ ;
	for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {
		int y = ver[i];
		ll z = edge[i];
		if(vis[y]) continue;
		dist[y] = (dist[x] + z) % 3;
		
		get_vertex_root_dist(y, x);
	}
	return cnt[1] * cnt[2] * 2 + cnt[0] * cnt[0];
}

void divide(int x)
{
	vis[x] = 1;
	ans += cal(x, 0); 
	for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {
		int y = ver[i];
		ll z = edge[i];  
		if(vis[y]) continue;
		ans -= cal(y, z);
		min_size = INF;
		get_root(y, x, siz[y]);
		divide(root);
	}
}

int main()
{
	init();
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i < n; ++ i) {
		int x, y, z;
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
		add(x, y, z % 3);
		add(y, x, z % 3);
	}
	min_size = INF;
	get_root(1, -1, n); 
	divide(root);
	ll down = 1ll * n * n;
	ll d = __gcd(ans, down);
	cout << ans / d << "/" << down / d << endl;
	return 0;
}