大二博客总结第五周

Posted 2021-10-29 钟钟终

本周所做事情：
1.进制转换问题
2.数论板块
模运算
快速幂
GCD和LCM
扩展欧几里得算法与二元一次方程的整数解
同余和逆元
素数
3.洛谷题解（贪心，DP，搜索）

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进制转换问题

P1143 进制转换
先有n进制数转化为十进制，再由十进制转化为m进制
1.字符转化为数字
2.数字转化为字符
3.本体最大的一个坑。转化为m进制的输出格式是有顺序的！！先转化的在后面

int change(char ch)
{
    return int(ch-'0');         //字符转化为数字
}
char ch1(int ch)
{
    return char(ch+'0');
}
int main()
{
    int n;cin>>n;
    string s;cin>>s;
    int m;cin>>m;
    int ans=0,k=1;
    for(int i=s.length()-1;i>=0;i--)
    {
        ans+=change(s[i])*k;
        k*=n;
    }
    string tmp="";
    while(ans)
    {
        tmp=ch1(ans%m)+tmp;     //本体最大的坑，不能写成  tmp+=ch1(ans%m);   顺序错误
        ans/=m;
    }
    cout<<tmp<<endl;
    return 0;
}

P1604 B进制星球
（主要用到高精度计算，进位问题，关键在与逆序存储字符串，输出顺序，和转化问题）
1.现将给定的两个字符串存到整型数组中
2.在进行高精度加减操作
3.去除前导0
4.输出再从后往前输出
代码思路写的还是很清晰的

int num1[2005],num2[2005],num[2005];
char s1[2005],s2[2005];
int main()
{
    int B;cin>>B;
    cin>>s1>>s2;
    int k1=strlen(s1),k2=strlen(s2);
    for(int i=0;i<k1;i++)
    {
        if(s1[i]>='A')
            num1[k1-i]=s1[i]-'A'+10; //字符串逆序存储到数组当中
        else
            num1[k1-i]=s1[i]-'0';    //解决高位进1的问题
    }
    for(int i=0;i<k2;i++)
    {
        if(s2[i]>='A')
            num2[k2-i]=s2[i]-'A'+10;
        else
            num2[k2-i]=s2[i]-'0';
    }
    int k=0,b=0;
    while(k<=k1||k<=k2)
    {
        k++;
        num[k]=num1[k]+num2[k]+b;
        b=num[k]/B;num[k]%=B;
    }
    while(num[k]==0&&k>1) k--;
    for(int i=k;i>=1;i--)
    {
        if(num[i]<10) cout<<num[i];
        else
            cout<<char(num[i]+'A'-10);
    }
    return 0;
}

模运算

除法的取模需要用到逆元

(a+b) mod m=((a mod m)+(b mod m)) mod m
(a-b) mod m=((a mod m)-(b mod m)) mod m
(a*b) mod m=((a mod m)*(b mod m)) mod m

P7521 [省选联考 2021 B 卷] 取模
看到个不太正规的做法。为了求最大的取模得到的数，盲猜是肯是从最大的几个数中选取，于是对于最大的几个数进行遍历，当遍历到最后6个的时候，便可以AC。

    sort(a+1,a+1+n);
    for(int k=n-5;k<=n;k++)
    {
        for(int i=n-5;i<=n;i++)
        {
            if(i==k) continue;
            for(int j=i+1;j<=n;++j)
            {
                if(j==k) continue;
                ans=max(ans,(a[i]+a[j])%a[k]);
            }
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
 }

快速幂

分治法实现

int fastpow(int a,int n)
{
    if(n==1) return a;
    int tmp=fastpow(a,n/2);
    if(n%2==1)
        return tmp*tmp*a;
    else
        return tmp*tmp;
}
int main()
{
    int a,n;
    cin>>a>>n;
    cout<<fastpow(a,n)<<endl;
    return 0;
 }

采用位运算实现快速幂

int fastpow(int a,int n)
{
    if(n==1) return a;
    int tmp=fastpow(a,n/2);
    if(n%2==1)
        return tmp*tmp*a;
    else
        return tmp*tmp;

快速幂取模：

a的n次方 mod m =(a mod m)的n次方 mod m ;

矩阵快速幂模板
HDU 2817

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2;
const int mod=1e4;
struct matrix
{
    int m[maxn][maxn];
    matrix()
    {
        memset(m,0,sizeof(m)); //对于矩阵初始化
    }
};
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    for(int i=0;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=0;j<maxn;j++)
        {
            for(int k=0;k<maxn;k++)
            {
                c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
matrix fastpow(matrix a,int n)
{
    matrix tmp;
    for(int i=0;i<maxn;i++)
        tmp.m[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            tmp=mul(tmp,a);
        a=mul(a,a);
        n>>=1;
    }
    return tmp;
}
int main()
{
    matrix a1;
    for(int i=0;i<maxn;i++)
        for(int j=0;j<maxn;j++)
        cin>>a1.m[i][j];
    int n;
    cin>>n;
    matrix a2=fastpow(a1,n);
    for(int i=0;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=0;j<maxn;j++)
            cout<<a2.m[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    return 0;
 }

GCD和LCM

GCD（最大公约数）: return b==0 ? a:gcd(b,a%b);
LCM ( 最小公倍数 ) : return a/ gcd(a,b)*b;

P1029 [NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题
（需要注意的是：如果最大公约数和最小公倍数是同一个数，也就是两个数相等的情况下，就一组）

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}
int main()
{
    int x,y;
    cin>>x>>y;
    int num=x*y;
    int ans=gcd(x,y); //最小公约数
    int cot=lcm(x,y); //最大公倍数
    int p=0;
    if(x!=ans)
        cout<<0<<endl;
    else
    {
        int k=ceil(sqrt(num)),g=1;
        for(int i=ans;i<=k;i+=ans)
        {
            if(num%i==0)
            {
                int tmp=num/i;
                if(gcd(i,tmp)==ans&&i!=tmp)
                {
                 p+=2;
                }
                else if(gcd(i,tmp)==ans&&i==tmp)
                {
                    p+=1;
                }
            }
            g++;
        }
        cout<<p<<endl;
    }
    return 0;
}

扩展欧几里得算法和二元一次方程的整数解

a*x+b*y=n 的充分必要条件是 gcd(a,b)可以整除 n（即n必须是gcd（a，b）的倍数）
扩展欧几里得算法： a*x+b*y= gcd(a,b),求解出整数解 x，y。若两边同除以 gcd(a,b)得到 cx+by =1，可求解得到 x=x0+d*t,y=y0-c*t
求任意方程 a*x+b*y= n的整数解
1.判断gcd(a,b)能否整除n
2.利用扩展欧几里得算法 求解 a*x+b*y= gcd(a,b) 中 x0,y0

#include <iostream>

using namespace std;

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return; //结束返回条件
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-(a/b)*y;
}
int main()
{
    int a,b,x,y;
    cin>>a>>b;
    exgcd(a,b,x,y);
    cout<<x<<" "<<y<<endl;
    return 0;
}

3.在 a*x+b*y= gcd(a,b)两边同时除以 n/gcd(a,b)
4.对于a*x+b*y=n得到的解为 x1=x0*n/gcd(a,b),y1=y0*n/gcd(a,b)

同余

a mod m = b mod m,称a和b对于m同余，m成为同余的模。 也可写作 m|(a-b),a-b的值是m的整数倍，同余的符号记为 a≡b。

int mod_inverse(int a,int m)  //求解逆元
{
    int x,y;
    exgcd(a,m,x,y);
    return (m+x%m)%m;  //x可能为负数，加上一个m
}

逆元可用于求解二元次次方程ax+my=b
(逆元：ax≡1(mod m)
给出a、m,求解方程ax除以m的余数是1，x为a模m的逆)