浮点型数据在内存中的存储

Posted 2021-10-28 Suk_god

浮点型在内存中的存储

• 浮点数的二进制表示
• • 基本表示方法
  • IEEE754国际标准表示
• 小试牛刀

浮点数的二进制表示

首先，计算机内存中存储的所有数据均以二进制的形式存在。那么，浮点数也不例外。要了解浮点数在内存中具体如何存储，首要问题是掌握浮点数二进制的表示方法。

基本表示方法

整数部分：除以2，商继续除以2，得到0为止，将余数逆序排列。

小数部分：乘以2，然后取出整数部分，将剩下的小数部分继续乘以2，然后再取整数部分，一直取到小数部分为零为止。如果永远不为零，则按要求保留足够位数的小数，最后一位做0舍1入。将取出的整数顺序排列。

举例：22.8125 转二进制的计算过程：

整数部分：
22 / 2 11 余0
11/2 5 余 1
5 /2 2 余 1
2 /2 1 余 0
1 /2 0 余 1
得到22的二进制是10110

小数部分：

0.8125x2=1.625 取整1, 小数部分：0.625
0.625x2=1.25 取整1, 小数部分：0.25
0.25x2=0.5 取整0, 小数部分：0.5
0.5x2=1.0 取整1, 小数部分：0，停止

得到0.8125的二进制是0.1101

结果：十进制22.8125等于二进制00010110.1101

IEEE754国际标准表示

对于任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

(-1)^S * M * 2^E
(-1)^S 表示符号位，S=0，V为正数，S=1，V为负数
M表示有效数字，取值范围 [1,2)
2^E 表示指数位

IEEE754规定：对于32位的浮点数，最高的一位是符号位S，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M，具体如下图所示

举例说明：
十进制浮点数6.0的二进制表示为：110.0，相当于1.1* 2^2，所以按照上面的公式来看，S=0，M=1.1，E=2

对于M IEEE754做出以下特别规定：
在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。
比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。
以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字

那么，如何保存01呢？？我们规定，保存方向为自左向右依次保存，剩余比特位自动按0填充。

对于指数E来说，情况较为复杂：

首先，E为一个无符号整数（unsigned int） why?
原因是：便于识别，易于存取。E如果只是无符号整数的话，我们在存取时就不需要考虑E的最高比特位的情况，这样，就可以直接使用了。

这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它的取值范围为0 ~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。比如，2^10的E 是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137即10001001

指数E取出来时会有三种情况：

①E不全为0或不全为1：
这时，浮点数就采用下面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1，得到浮点数的二进制序列表示，最后按照公式(-1)^S * M * 2^E带入求出十进制的浮点数。
②E全为0
此情况E的真实值就是0-127（或者0-1023），按照上面的方式进行还原后我们发现十进制表示为(-1)^S * M * 2^（-127），对于这个式子分析我们可以发现，当S=0时，它的值由正向无限接近于0值，当S=1时，由负向无限接近于0。与M的大小无关，因为M最终的表示形式仅仅是1.XXX，对整个结果影响微乎其微。

由上图我们可以得到一个结论：那就是浮点数不能直接使用“==”来判断两个数是否相等

int main()
{
	float f1 = 3.7;
	printf("%.50f\\n",f1);
	printf("%.50f\\n",3.7);
	if (f1  == 3.7)
		printf("f1==3.7\\n");
	system("pause");
	return 0;
}

这种写法是错误的。
浮点数和double型数在计算机中并不能精确存储，所以看似相等，但是在计算机中存储的二进制不一定相等，所以浮点数的比较是否相等，一般是让两个浮点数相减求绝对值，绝对值在某个范围内就认为相等，至于这个范围是多大是根据实际情况决定的。

③E全为1
此时E的真实值为127+127（1023+1023），那么(-1)^S * M * 2^E表示的值根据S的取值具体表现为浮点数的最大值或是最小值。也就是说，当E为全1时，表示该浮点数的最值问题。

小试牛刀

判断下面程序段的输出结果

int main()
{
 int n = 9;
 float *pFloat = (float *)&n;
 //代码1
 printf("n的值为：%d\\n",n);
 printf("*pFloat的值为：%f\\n",*pFloat);
 //代码2
 *pFloat = 9;
 printf("num的值为：%d\\n",n);
 printf("*pFloat的值为：%f\\n",*pFloat);
 return 0; }

对于这段代码我们分块理解：
上面这块表示：
第一条输出语句以%d的形式输出n，毋庸置疑，结果是9

第二条输出语句以%f的形式对指针变量pFloat所指向的目标进行输出。首先，指针指向n，n存储的内容是9的二进制表示，即0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001，现在指针也指向这里，但是输出时取数据是按照什么标准呢？第一步就是要看数据类型。而此时是按照%f的格式输出，那么系统就会将会9的二进制表示当做是浮点数来看待，也就是0 00000000 00000000000000000001001，所以对应E=0的情况，所以就是浮点数的0值，输出结果应该是：0.000000

对于代码2来说：
首先，通过指针的方式对变量n重新赋值，而在执行*pFloat = 9;这条语句时，由于左右两边类型不一致，所以会发生隐式类型转换，整型9转变成float类型后再进行赋值。按照浮点数的存储方式，我们可以得到9.0的二进制表示为1001.0–>1.001 * 2^3—>S=0;M = 1.001;E=3。通过计算，我们可以得到实际存储的二进制序列是0100 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000
所以，第一条输出语句以%d形式输出n值时结果时：二进制序列0100 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000最高位为0，为正数，结果就是此二进制序列对应的十进制数

而以%f输出*pFloat时，结果就是我们的9.0

以上就是对这道题的理解·~~