“难度题” 题解

Posted 2021-10-26 ｡✧* ꧁王者꧂✧*

模拟赛时遇见的一道题，个人感觉这道题忒棒了！
考场时，除了看出来这是道树形$DP$题以外，也就只会打暴力了。
做这道题时，你会发现，直接按原意来$DP$的话，特别麻烦，你得记录每个点所在的连通块的$sum$是多少，但因为是$1e9$级别的，这个$DP$状态肯定就不行了。那怎么办呢？既然这样$DP$不行，那就换一种方式$DP$。
若是有经验的$dalao$们肯定已经发现了。一个联通块的$sum$的平方，就相当于在$sum$个点中找到两个点$x,y$，$x$涂成红色，$y$涂成蓝色（$x==y$是允许的）。这样的话，题意就可以改成：把一个树分成多个连通块，在每个连通块内找两点$x$，$y$分别涂成红色和蓝色的方案数。
$DP$状态：$f[x][op]$表示在$x$为根的子树中，$x$所在的连通块中选了$op$个点涂色的方案数。
那么，接下来考虑一下DP方程：
设父亲为$u$，儿子为$v$，初值为：$f[x][0]=1,f[x][1]=a[x],f[x][2]=a[x]\ast a[x]$。
然后，用$f[v][0],f[v][1]和f[v][2]来更新$，这时候还需要引入一个变量$g$，是用来$DP$转移用的，为了防止被更新过的$f$再次更新其他f值。
DP式子：

	for(int j = 0 ;j <= 2 ; j++) //父亲要涂几个 
		{
			for(int k = 0 ; k <= j ; k++)
			g[x][j] = (g[x][j] + f[x][j-k] *f[y][k] %p*c[j][k]) %p;//不断边 
			g[x][j] = (g[x][j] + f[y][2] * f[x][j] %p ) %p;//断边 
		}
		for(int i = 0 ; i <= 2 ; i++)
		f[x][i] = g[x][i] , g[x][i] = 0;

上面的式子，一种是当前$u$和$v$之间的边断，一种是之间的边不断，然后，各自转移。然后，这个组合数的存在，是因为你要枚举涂的是哪个颜色，或者说，处理的是红色点在$u$还是在$v$这个问题。
还有一种$DP$形式，不用考虑组合数，状态是：$f[u][0]表示u所在的连通块不涂色的方案，f[u][1]表示涂一个红色点的方案，f[u][2]表示涂一个蓝色点的方案，f[u][3]表示红蓝两点都涂的方案$。

怎么转移呢？
就看你们了。
再见。