C++经典算法问题：冯诺依曼邻居问题丨两种解法（内含源码示例）

Posted 2021-10-26 一起学编程

问题说明

某算法从一个1×1的方格开始，每次都会在上次图形的周围再加上一圈方格，在第n次的时候要生成多少个方格？下图给出了n = 0，1，2是的结果。

解法一：本程序使用通项公式求解

代码简述

若设第n次生成的方格数是a(n)，则：

a(1) = a(0) + 4 * 1 a(2) = a(1) + 4 * 2 a(3) = a(2) + 4 * 3 ... a(n) = a(n-1) + 4 * n

化简可得：

a(n) - a(1) = 4 * (n + (n-1) + ... + 2 )

即：

a(n) = 2 * n*n + 2 * n + 1

则可得出a(n)的通项公式，即可用通项公式直接求解。

在程序中用Neumann2_3_12函数返回a(n)的值。

源码分享

#include<stdio.h>

//通项法

intNeumann2_3_12(intn) {

//通项公式的求解请查看说明文档

return2* n*n +2* n +1;

}

intmain() {

intn =0, a =0;

printf("------冯诺依曼邻居问题------\\n");

printf("已知：\\n");

printf("0 阶冯诺依曼邻居的元胞数为 1\\n");

printf("1 阶冯诺依曼邻居的元胞数为 5\\n");

printf("2 阶冯诺依曼邻居的元胞数为 13\\n");

printf("求：\\n");

printf("n 阶冯诺依曼邻居的元胞数\\n");

printf("----------------------------\\n");

printf("请输入n\\n");

scanf("%d", &n);

//用通项公式求解

a =Neumann2_3_12(n);

printf("------------通项法-------------\\n");

printf("%d 阶冯诺依曼邻居的元胞数为 %d\\n", n, a);

getchar();

getchar();

return0;

}

解法二：本程序使用递推关系求解 

代码简述

若设第n次生成的方格数是a(n)，则：

a(1) = a(0) + 4 * 1 a(2) = a(1) + 4 * 2 a(3) = a(2) + 4 * 3 ... a(n) = a(n-1) + 4 * n

则可得：

a(n) = a(n - 1) + 4 * n

然后在代码中使用递归法，递归结束条件为n = 0，即

if (n == 0) return 1;

则可写出递归法的代码。

在程序中用Neumann2_4_12函数进行递归求解。

源码分享

#include<stdio.h>

//递归法

intNeumann2_4_12(intn) {

//由图可知第0次有1个方格

if(n ==0)return1;

//递推关系的求解请查看说明文档

returnNeumann2_4_12(n -1) +4* n;

}

intmain() {

intn =0, a =0;

printf("------冯诺依曼邻居问题------\\n");

printf("已知：\\n");

printf("0 阶冯诺依曼邻居的元胞数为 1\\n");

printf("1 阶冯诺依曼邻居的元胞数为 5\\n");

printf("2 阶冯诺依曼邻居的元胞数为 13\\n");

printf("求：\\n");

printf("n 阶冯诺依曼邻居的元胞数\\n");

printf("----------------------------\\n");

printf("请输入n\\n");

scanf("%d", &n);

//建立递推关系，使用递归求解

a =Neumann2_4_12(n);

printf("------------通项法-------------\\n");

printf("%d 阶冯诺依曼邻居的元胞数为 %d\\3n", n, a);

getchar();

getchar();

return0;

}

今天的分享就到这里了，大家要好好学C++哟~

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