机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（25）：线性变换

Posted 2021-10-24 海轰Pro

目录

• 前言
• 往期文章
• 6.4 线性变换
• • 定义4
  • 定义5：线性变换
  • 举例
  • • 例10
• 结语

前言

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6.4 线性变换

定义4

设有两个非空集合$A,B$，如果对于$A$中任一元素$\alpha$，按照一定的规则，总有$B$中一个确定的元素$\beta$和它对应

那么，这个规则称为从集合$A$到集合$B$的映射，将上述映射记作$T$，并记

$$\beta =T(\alpha )或\beta =T\alpha (\alpha \in A,\beta \in B)$$

设${\alpha }_1\in A,T({\alpha }_1)={\beta }_1$，意思就是映射$T$把元素${\alpha }_1$变为${\beta }_1$

• ${\beta }_1$称为${\alpha }_1$在映射$T$下的像
• ${\alpha }_1$称为${\beta }_1$在映射$T$下的源
• $A$称为映射$T$的源集
• 像的全体所构成的集合称为像集，记作$T(A)$，即 T ( A ) = { β = T ( α ) ｜ α ∈ A } T(A)=\\{\\beta=T(\\alpha)｜\\alpha \\in A\\} T(A)={β=T(α)｜α∈A}，其中有$T(A)\subset B$

定义5：线性变换

设$V_n,U_m$分别是$n$维和$m$维线性空间，T是一个从$V_n$到$U_m$的映射，如果映射$T$满足

（1）任给${\alpha }_1,{\alpha }_2\in V$，有
$$T({\alpha }_1+{\alpha }_2)=T({\alpha }_1)+T({\alpha }_2)$$

（2）任给$\alpha \in V_n,\lambda \in \mathbb{R}$,有
$$T(\lambda \alpha )=\lambda T(\alpha )$$

那么$T$就称为从$V_n$到$U_m$的线性映射（或线性变换）

---

线性变换具有的一些性质：

（1）$T0=0,T(-\alpha )=-T\alpha$

（2）若$\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m$，则$T\beta =k_{1}T{\alpha }_1+k_{2}T{\alpha }_2+...+k_{m}T{\alpha }_m$

（3）若${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$线性相关，则$T({\alpha }_1$

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