机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（26）：线性变换的矩阵表达式

Posted 2021-10-24 海轰Pro

目录

• 前言
• 往期文章
• 6.5 线性变换的矩阵表达式
• • 定义6
  • 定理2
  • 定义7
  • 举例
  • • 例11
• 结语

前言

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6.5 线性变换的矩阵表达式

定义6

设$T$是线性空间$V_n$中的线性变换，在$V_n$中取定一个基${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$，如果这个基在变换$T$下的像（用这个基线性表示）为：

$$\{\begin{array}{l}T({\alpha }_1)=a_{11}{\alpha }_1+a_{21}{\alpha }_2+...+a_{n1}{\alpha }_n\\ T({\alpha }_2)=a_{12}{\alpha }_1+a_{22}{\alpha }_2+...+a_{n2}{\alpha }_n\\ .........\\ T({\alpha }_n)=a_{1n}{\alpha }_1+a_{2n}{\alpha }_2+...+a_{nn}{\alpha }_n\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

记$T({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n)=(T({\alpha }_1),T({\alpha }_2),...,T({\alpha }_n))$，则(1)式可以表示为

$$T({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n)A$$

其中

A = [ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ] A=\\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\\\ . & . & & . \\\\ . & . & & . \\\\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\\\ \\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​a11​a21​..an1​​a12​a22​..an2​​.........​a机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质

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