线代二次型部分零碎知识点
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线代二次型部分零碎知识点相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1. 正交性
1.1 正交与正交投影
u i ⋅ u j = u i T ⋅ u j = 0 u_i \\cdot u_j = u_i^T \\cdot u_j= 0 ui⋅uj=uiT⋅uj=0， 则 u i u_i ui和 u j u_j uj相互正交
定理：假设
u
1
,
⋯
,
u
p
{u_1, \\cdots ,u_p}
u1,⋯,up是
R
n
R^n
Rn中子空间
W
W
W的正交基，对
W
W
W中的每个向量
y
y
y，线性组合
y
=
c
1
u
1
+
⋯
+
c
p
u
p
y=c_1u_1+ \\cdots +c_pu_p
y=c1u1+⋯+cpup中的权可以由
c
j
=
y
⋅
u
j
u
j
⋅
u
j
(
j
=
1
,
⋯
,
p
)
c_j = \\frac{y\\cdot u_j}{u_j \\cdot u_j}(j = 1, \\cdots,p)
cj=uj⋅ujy⋅uj(j=1,⋯,p)计算
[证]
y
⋅
u
1
=
(
c
1
⋅
u
1
+
c
2
⋅
u
2
+
⋯
+
c
p
⋅
u
p
)
⋅
u
1
=
c
1
(
u
1
⋅
u
1
)
y\\cdot u_1 = (c_1 \\cdot u_1 + c_2 \\cdot u_2 + \\cdots + c_p \\cdot u_p)\\cdot u_1 = c_1(u_1 \\cdot u_1)
y⋅u1=(c1⋅u1+c2⋅u2+⋯+cp⋅up)⋅u1=c1(u1⋅u1)
由于
u
1
⋅
u
1
u_1 \\cdot u_1
u1⋅u1非零，从上面方程中可以解出系数
c
1
c_1
c1
从几何角度理解，即为正交投影，y在
u
u
u上的投影
p
r
o
j
L
y
=
y
⋅
u
u
⋅
u
proj_Ly = \\frac{y\\cdot u}{u \\cdot u}
projLy=u⋅uy⋅u
1.2 格拉姆-施密特标准正交化
v
k
+
1
=
x
k
+
1
−
p
r
o
j
W
k
x
k
+
1
v_{k+1} = x_{k+1} - proj_{W_k}x_{k+1}
vk+1=xk+1−projWkxk+1
每次减去之前求得的正交基所围成空间，确保这次求得的正交基是之前的正交补
2. 正交矩阵
正交矩阵各列标准正交，一个正交矩阵就是一个可逆的方阵，且满足：
Q
T
=
Q
−
1
Q^T=Q^{-1}
QT=Q−1
[证]
Q
T
Q
=
[
q
1
T
q
2
T
⋮
q
n
T
]
[
q
1
q
2
⋯
q
n
]
=
[
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
1
]
，
得
证
。
Q^TQ = \\left[ \\begin{matrix} q_1^T \\\\ q_2^T \\\\ \\vdots \\\\ q_n^T \\\\ \\end{matrix} \\right] \\left[ \\begin{matrix} q_1 & q_2 & \\cdots & q_n \\\\ \\end{matrix} \\right] = \\left[ \\begin{matrix} 1 & 0 & \\cdots & 0 \\\\ 0 & 1 & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & 1 \\\\ \\end{matrix} \\right]， 得证。
QTQ=⎣⎢⎢⎢⎡q1Tq2T⋮qnT⎦⎥⎥⎥⎤[q1q2⋯qn]=⎣⎢⎢⎢⎡10⋮001⋮0面向对象的零碎知识点记录