[海军国际项目办公室]假人

Posted 2021-10-24 StaroForgin

假人

题目描述

题解

首先$30pts$的暴力背包$dp$大概是很好想到的，但由于它的复杂度达到了$O\left(n^2{k}^2\right)$，显然是过不了的。
我们根据$k_i⩽2,3$的两个部分应该很容易想到通过反悔贪心来一步一步求出$t\in [n,\sum k_i]$的答案。
但如果我们将$k$的范围扩展到$5$，那我们如果采用反悔贪心地话就需要讨论很多种情况，是很难处理的，果断放弃。

由于所有的假话组中都至少要有一个假话被选择，我们可以将$K_i$都减一，此时我们的答案要求的范围也就变成了$[0,\sum k_i]$。
我们定义$d{p}_i$表示选择总长度为$i$的假话，我们可以得到的最大总权值和。
有结论，$d{p}_{i+12}-d{p}_i⩾d{p}_{i+24}-d{p}_{i+12}$，也就是说在模$12$的意义下，原序列是一个凸包。
事实上着结论出题人也没有给出详尽的证明，但我们可以通过暴力对其进行验证。
在$C2020jzm$的博客有尝试通过暴力对其进行检验的代码。
既然知道了这样的结论，我们可以想到通过分治的方法去求出我们的答案。
对于两个区间，我们可以对它们的$dp$值在模$12$不同的编号下，通过闵可夫斯基和的方式进行求和，进而得到我们完整的区间的$dp$值，其实该方式有点类似于归并，根据极角的大小移动双指针。
我们记$K=12$，由于是按$K$分类合并的，我们总共要进行$K^2$不同类型，而每次合并是$O\left(\frac{kn}{K}\right)$。
分治合并后直接就可以得到整个区间的答案了。

时间复杂度$O\left(Kkn\log n\right)$

源码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;     
const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;  
const int mo=998244353;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int n1=50;
const int zero=10000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<LL,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
    _T f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
    x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){putchar('\\n');while(x>9){putchar((x%10)|'0');x/=10;}putchar(x|'0');}
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,K[MAXN],a[MAXN][5],idx,siz[MAXN<<2];LL ans,dp[25][MAXN*4],g[MAXN*4];
int sakura(int rt,int l,int r){
    if(l==r){
        int rtp=++idx;siz[rt]=K[l];
        for(int j=0;j<=K[l];j++)dp[rtp][j]=a[l][j];
        return rtp;
    }
    int mid=l+r>>1,lsp,rsp,rtp;
    lsp=sakura(lson,l,mid);rsp=sakura(rson,mid+1,r);siz[rt]=siz[lson]+siz[rson];
    for(int i=0;i<12&&i<=siz[lson];i++)
        for(int j=0;j<12&&j<=siz[rson];j++){
            int k=i+j,i1=i,j1=j;g[k]=max(g[k],dp[lsp][i1]+dp[rsp][j1]);
            while(i1+12<=siz[lson]&&j1+12<=siz[rson]){
                if(dp[lsp][i1+12]-dp[lsp][i1]>dp[rsp][j1+12]-dp[rsp][j1])i1+=12;else j1+=12;
                k+=12;g[k]=max(g[k],dp[lsp][i1]+dp[rsp][j1]);
            } 
            while(i1+12<=siz[lson])i1+=12,k+=12,g[k]=max(g[k],dp[lsp][i1]+dp[rsp][j1]);
            while(j1+12<=siz[rson])j1+=12,k+=12,g[k]=max(g[k],dp[lsp][i1]+dp[rsp][j1]);
        }
    for(int i=0;i<=siz[lson];i++)dp[lsp][i]=0;lsp=0;
    for(int i=0;i<=siz[rson];i++)dp[rsp][i]=0;rsp=0;
    idx-=2;rtp=++idx;for(int i=0;i<=siz[rt];i++)dp[rtp][i]=g[i],g[i]=0;
    return rtp;
}
signed main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        read(K[i]);K[i]--;
        for(int j=0;j<=K[i];j++)read(a[i][j]);
    }
    int rt=sakura(1,1,n);
    for(int i=0;i<siz[1];i++)printf("%lld ",dp[rt][i]);
    printf("%lld\\n",dp[rt][siz[1]]);
    return 0;
}

谢谢！！！