金字塔 题解

Posted 2021-10-24 ｡✧* ꧁王者꧂✧*

哒哒哒~

初看本题时，一头雾水，根本不知从何处下手，只隐隐感到，如果将两个相同的字符视为一颗子树的根，应该会有多种可能吧。当然，这种想法也只是一瞬即逝，但却是解锁本题的关键。
于是，就根据这个思路来DP，那么答案应该就是$dp[1][n]$了，这是显然的。那么，如何DP呢？可以发现，本题算是道区间DP，且只有当$dp[l][r]$中$l$和$r$处的字符相同时，才会有值。所以，从小区间转向大区间时，小区间的两端字符一定是相同的，这是转移的条件。那么，我们怎么样才能不重不漏地并且不多余地计算出$f[l][r]$的值呢？这是本题十分关键的一点。
所以，为了能够完美地计算$f[l][r]$，我们每次转移时，可以枚举当前根连接的第一颗子树的大小（因为是深度优先遍历，第一颗子树大小不同，可以证明这两棵子树在深度优先遍历的意义下一定不同，即使二者形态相同），而找寻最大的子树，便是枚举$l$和$r$中间的一个$k$，使$l+1$和$k-1$处的字符相同且$k$和$r$的字符相同。于是，枚举就好。
总复杂度：$O(n^3)$
本人的写法是$dfs$，但依旧是这个思路（参考《算法进阶》）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
char s[350];
int M=1e9;
long long f[310][310];//f[i][j]指遍历从i到j后的最大方案数； 
int work(int a,int b)
{
	if(a>b) return 0;
	if(s[a]!=s[b]) return 0;
	if(a==b) return 1;
	if(f[a][b]!=-1) return f[a][b];
	f[a][b]=0;
	for(int k=a+2;k<=b;k++)
	{
		f[a][b]=(f[a][b]+(long long)(work(a+1,k-1)*work(k,b))%M)%M;
	}
	return f[a][b]%M;
}
signed main()
{
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);
	scanf("%s",s+1);
	int len=strlen(s+1);
	memset(f,-1,sizeof(f));
	cout<<work(1,len);
	return 0;
}