ICPC南京18J——考虑素数贡献

Posted 2021-10-23 hans774882968

是少数题意特别容易看懂的ICPC题，题意略。传送门

直接考虑区间是不得行的，唯一跳脱出区间思路的方法，是利用数值（数论题的普遍特征）。这里问不同素因子的个数，自然要考虑素因子贡献了。所以原问题转化为：每个素因子p的贡献为包含它的区间个数，包含定义为区间中存在一个数是p的倍数，求贡献和。

这个转化还不够，仍然不能做。但我们发现，枚举数组里每个数的所有素因子，这在时间复杂度上是可行的，也是很常见的技巧。所以我们不妨在枚举a[i]的素因子p的时候，更新p的贡献。

于是此时我们面临一个问题：设有i[1],...i[x]这些下标的对应的数，是素因子p的倍数，怎么不重复地算出包含它们中的某些数的区间总数？做法就是规定每个区间只能被第一次出现的统计（在单调栈+计数的问题里，也常常出现这一技巧）。所以我们在枚举过程中维护一个哈希表las，las[p]表示上一个有p的下标。我们得出，此时素因子p的贡献增量为：(i-las[p])*(n-i+1)。

所以最后的做法是：枚举每个a[i]的每个素因子p，并更新p的贡献增量。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define rep(i,a,b) for(int i = (a);i <= (b);++i)
#define re_(i,a,b) for(int i = (a);i < (b);++i)
#define dwn(i,a,b) for(int i = (a);i >= (b);--i)

const int N = 1e6 + 5;

int n,a[N],las[N];
vector<int> primes;bool vis[N];

void dbg(){puts("");}
template<typename T, typename... R>void dbg(const T &f, const R &... r) {
    cout << f << " ";
    dbg(r...);
}
template<typename Type>inline void read(Type &xx){
    Type f = 1;char ch;xx = 0;
    for(ch = getchar();ch < '0' || ch > '9';ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;
    for(;ch >= '0' && ch <= '9';ch = getchar()) xx = xx * 10 + ch - '0';
    xx *= f;
}

void init_p(int m){
    vis[1] = true;
    rep(i,2,m){
        if(!vis[i]) primes.push_back(i);
        for(int &p: primes){
            if(i > m / p) break;
            vis[i * p] = true;
            if(i % p == 0) break;
        }
    }
}

int main(int argc, char** argv) {
    init_p(N-5);
    read(n);
    rep(i,1,n) read(a[i]);
    LL ans = 0;
    rep(i,1,n){
        int x = a[i];
        for(int p: primes){
            if(p > x/p) break;
            if(x % p == 0){
                ans += 1LL*(i-las[p])*(n-i+1);
                las[p] = i;
            }
            while(x % p == 0) x /= p;
        }
        if(x > 1){
            ans += 1LL*(i-las[x])*(n-i+1);
            las[x] = i;
        }
    }
    printf("%lld\\n",ans);
    return 0;
}