CF1444B Divide and Sum(结论题)

Posted 2021-10-22 issue是fw

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把长度$2\ast n$的$a$数组分成两个长度$n$的数组$p$和$q$

对$p$递增排序,对$q$递减排序,计算$f(p,q)=\sum _{i=1}^n|p_i-q_i|$

求对于任意的$p,q$,他们的$f(p,q)$之和。

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没啥好说的,结论题,想不出又不会猜.

结论:无论那种划分得到的$p,q$,$f(p,q)$的值都是较大的那$n$个数减较小的那$n$个数

因为$f(p,q)=\sum _{i=1}^n\max (p_i,q_i)-min(p_i,q_i)$

设较大的那$n$个数集合为$A$,较小的那$n$个数集合为$B$

我们断言$p_i,q_i$分别来自于$A,B$

考虑反证法,若$p_i,q_i$同时属于$A$(随便做的假设,你也可以假设来自B)

那么必然存在另一对$p_j,q_j$同时属于$B$

这样$p$数组和$q$数组的单调性是一样的,而题目中明确说了$p$递增,$q$递减

所以$f(p,q)$是定值,分割数组$a$的方案显然是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 998244353;
const int maxn = 1e6+10;
int n,a[maxn],fac[maxn];
int quick(int x,int n)
{
	int ans = 1;
	for( ; n ; n>>=1,x=x*x%mod )
		if( n&1 )	ans = ans*x%mod;
	return ans;
}
int C(int n,int m)
{
	if( n<m )	return 0ll;
	return fac[n]*quick( fac[m]*fac[n-m]%mod,mod-2 )%mod;
}
signed main()
{
	fac[0] = 1;
	for(int i=1;i<=1000000;i++)	fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=2*n;i++)	cin >> a[i];
	sort( a+1,a+1+2*n );
	int ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)	ans = ( ans-a[i]+a[i+n] )%mod;
	cout << ( ans*C( 2*n,n )%mod+mod )%mod << endl;
}