机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（22）：线性空间的定义与性质

Posted 2021-10-22 海轰Pro

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6.1 线性空间的定义与性质

定义1：线性空间

设 $V$ 是一个非空集合， $\\mathbb{R}$ 为实数域

如果对于任意两个元素 $\\alpha,\\beta \\in V$ ，总有惟一的一个元素 $\\gamma \\in V$ 与之对应，称为 $\\alpha$ 与 $\\beta$ 的和，记作 $\\gamma=\\alpha+ \\beta$

对于任一数 $\\lambda\\in \\mathbb{R},\\alpha \\in V$ ，总有惟一的一个元素 $\\delta\\in V$ 与之对应，称为 $\\lambda$ 与 $\\alpha$ 的积，记作 $\\delta=\\lambda \\alpha$

并且这两种运输满足八条运算规律：

$\\alpha+\\beta=\\beta+\\alpha$
$(\\alpha+\\beta)+\\gamma=\\alpha+(\\beta+\\gamma)$
在 $V$ 中存在零元素 $\\boldsymbol0$ ，对任何 $\\alpha\\in V$ ，都有 $\\alpha+\\boldsymbol0=\\alpha$
对任何 $\\alpha \\in V$ ,都有 $\\alpha$ 的负元素 $\\beta \\in V$ ，使 $\\alpha+\\beta=\\boldsymbol0$
$1\\alpha=\\alpha$
$\\lambda(\\mu\\alpha)=(\\lambda \\mu)\\alpha$
$(\\lambda+\\mu)\\alpha=\\lambda \\alpha+\\mu\\alpha$
$\\lambda(\\alpha+\\beta)=\\lambda \\alpha+\\lambda\\beta$

注： $\\alpha,\\beta,\\gamma \\in V;\\lambda,u\\in \\mathbb{R}$

那么 $V$ 就称为实数域 $\\mathbb{R}$ 上的向量空间（或线性空间）

简言之

凡是满足上面八条规律的加法和乘法运算，就称为线性运算
凡是定义了线性运算的集合，就称为向量空间

线性空间的性质

性质1

零元素是惟一的

证明（反证法）

假设存在两个零元素 $0_1,0_2 \\in V$

依据零元素的定义，有

$\\begin{cases} 0_1 + 0_2=0_1(0_2看成零元素)\\\\ 0_1 + 0_2=0_2(0_1看成零元素)\\\\ \\end{cases}$

得到

$0_1=0_2$

即可说明零元素是惟一的

性质2

任意元素的负元素是惟一的， $\\alpha$ 的负元素记作 $-\\alpha$

证明（反证法）

假设 $\\alpha \\in V$ 有两个负元素，记作 $\\beta,\\gamma$

依据负元素的定义，有

$\\begin{cases} \\alpha + \\beta = 0\\\\ \\alpha + \\gamma = 0 \\end{cases}$

又

$\\beta=\\beta+0=\\beta+(\\alpha+\\gamma)=(\\beta+\\alpha)+\\gamma=0+\\gamma=\\gamma$

即

$\\beta=\\gamma$

综上，任意元素的负元素是惟一的

性质3

$（1）0\\alpha=\\boldsymbol0$
$（2）(-1)\\alpha=-\\alpha$
$（3）\\lambda \\boldsymbol0=\\boldsymbol0$

证（1）

$\\alpha+0\\alpha=1\\alpha+0\\alpha=(1+0)\\alpha=\\alpha$

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机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（22）：线性空间的定义与性质

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前言

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6.1 线性空间的定义与性质

定义1：线性空间

线性空间的性质

性质1

性质2

性质3