机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（23）：维数基与坐标
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6.2 维数、基与坐标
定义2
在线性空间 V V V中，如果存在 n n n个元素 α 1 , α 2 , . . . , α n \\alpha_1,\\alpha_2,...,\\alpha_n α1,α2,...,αn，满足：
- α 1 , α 2 , . . . , α n \\alpha_1,\\alpha_2,...,\\alpha_n α1,α2,...,αn线性无关
- V V V中任一元素 α \\alpha α总可由 α 1 , α 2 , . . . , α n \\alpha_1,\\alpha_2,...,\\alpha_n α1,α2,...,αn线性表示
那么 α 1 , α 2 , . . . , α n \\alpha_1,\\alpha_2,...,\\alpha_n α1,α2,...,αn就称为线性空间 V V V的一个基， n n n称为线性空间 V V V的维数
只含有一个零元素的线性空间没有基，规定它的维数为0
维数为 n n n的线性空间称为 n n n维线性空间，记作 V V V
对于 n n n维线空间 V n V_n Vn，若知 α 1 , α 2 , . . . , α n \\alpha_1,\\alpha_2,...,\\alpha_n α1,α2,...,αn为 V n V_n Vn的一个基，则 V n V_n Vn可表示为
V n = { α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n ｜ x 1 , x 2 , . . . , x n ∈ R } V_n=\\{\\alpha=x_1\\alpha_1+x_2\\alpha_2+...+x_n\\alpha_n｜x_1,x_2,...,x_n \\in \\mathbb{R} \\} Vn={α=x1α1+x2α2+...+xnαn｜x1,x2,...,xn∈R}
即 V n V_n Vn是基 α 1 , α 2 , . . . , α n \\alpha_1,\\alpha_2,...,\\alpha_n α1,α2,...,αn所生成的线性空间
若 α 1 , α 2 , . . . , α n \\alpha_1,\\alpha_2,...,\\alpha_n α1,α2,...,αn是 V n V_n Vn的一个基，则对任何 α ∈ V n \\alpha \\in V_n α∈Vn，都有惟一的一组有序数 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn，使
α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n \\alpha=x_1\\alpha_1+x_2\\alpha_2+...+x_n\\alpha_n α=x1α1+x2α2+...+xnαn
反之，任给一组有序数 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn，总有惟一的元素
α
=
x
1
α
1
+
x
2
α
2
+
.
.
.
+
x
n
α
n
=
(
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
n
)
[
x
1
x
2
.
.
.
x
n
]
∈
V
n
\\alpha=x_1\\alpha_1+x_2\\alpha_2+...+x_n\\alpha_n =(\\alpha_1,\\alpha_2,...,\\alpha_n)\\begin{bmatrix} x_1\\\\ x_2\\\\ .\\\\ .\\\\ .\\\\ x_n \\end{bmatrix} \\in V_n
α=x1α1+x2α2+ 以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（23）：维数基与坐标的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（16）：向量和矩阵的极限