机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（24）：基变换与坐标变换
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6.3 基变换与坐标变换
同一元素在不同的基下有不同的坐标
设 α 1 , . . . , α n 、 β 1 , . . . . , β n \\alpha_1,...,\\alpha_n、\\beta_1,....,\\beta_n α1,...,αn、β1,....,βn是线性空间 V n V_n Vn中的两个基，有
{ β 1 = p 11 α 1 + p 21 α 2 + . . . . + p n 1 α n β 2 = p 12 α 1 + p 22 α 2 + . . . . + p n 2 α n . . . . . . . . β n = p 1 n α 1 + p 2 n α 2 + . . . . + p n n α n \\begin{cases} \\beta_1=p_{11}\\alpha_1+p_{21}\\alpha_2+....+p_{n1}\\alpha_n\\\\ \\beta_2=p_{12}\\alpha_1+p_{22}\\alpha_2+....+p_{n2}\\alpha_n\\\\ ........\\\\ \\beta_n=p_{1n}\\alpha_1+p_{2n}\\alpha_2+....+p_{nn}\\alpha_n\\\\ \\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧β1=p11α1+p21α2+....+pn1αnβ2=p12α1+p22α2+....+pn2αn........βn=p1nα1+p2nα2+....+pnnαn
使用矩阵形式表示
[ β 1 β 2 . . . β n ] = [ p 11 p 21 . . . p n 1 p 12 p 22 . . . p n 2 . . . . . . . . . p 1 n p 2 n . . . p n n ] [ α 1 α 2 . . . α n ] = P T [ α 1 α 2 . . . α n ] \\begin{bmatrix} \\beta_1\\\\ \\beta_2\\\\ .\\\\ .\\\\ .\\\\ \\beta_n \\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix} p_{11} & p_{21} &... & p_{n1}\\\\ p_{12} & p_{22} & ... &p_{n2}\\\\ . & . & & . \\\\ . & . & & . \\\\ . & . & & . \\\\ p_{1n} & p_{2n} &... & p_{nn}\\\\ \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} \\alpha_1\\\\ \\alpha_2\\\\ .\\\\ .\\\\ .\\\\ \\alpha_n \\end{bmatrix}=P^T\\begin{bmatrix} \\alpha_1\\\\ \\alpha_2\\\\ .\\\\ .\\\\ .\\\\ \\alpha_n \\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡β1β2...βn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡p11p12...p1np21p22...p2n.........pn1pn2...pnn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质
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