[ABC211G]Jumping sequence

Posted 2021-10-22 StaroForgin

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[ABC211G]Jumping sequence相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

Jumping sequence

题解

~~卡空间就离谱。~~

首先，我们的四种操作是让 $x$ 轴与 $y$ 轴其中一个走 $d_{i}$ 步或 $d_{i}$ 步。
所以对应下来每个方向就有 $d_{i},-d_{i},0$ 三种取值，总共有 $9$ 种组合，但事实上合法的走法只有 $4$ 种，也就是说我们有相当一部分走法是不合法的，我们在这种情况下不同方向走的步数不是独立的。
既然不是独立的，我们就把它变成独立的，方便我们的计算，这样我们每次就只需要处理一维了。

我们可以考虑将原来的图很过来放，使得 $x^{'} = x + y, y^{'} = x - y$ 。
很明显，此时的 $(x^{'}, y^{'})$ 与 $(x, y)$ 是一一对应的。
那么，我们的四个走的操作相当于是向量 $(\\pm d_{i},\\pm d_{i})$ 。
此时， $x$ 轴与 $y$ 轴都只有 $\\pm d_{i}$ 两个取值， $x$ 轴的取值与 $y$ 轴的取值是没有关系的，也就是说，这两者是独立的。
所以我们只需要单独更新出 $x$ 轴上到 $A + B$ 与 $y$ 轴上到 $A - B$ 的路径，将两者加在一起就有了到 $(A, B)$ 的路径。
我们定义 $dp_{i,j}$ 表示走完第 $i$ 步后点 $j$ 能否被访问到，容易得到 $d p$ 转移式， $dp_{i,j}=dp_{i-1,j-d_{i}}|dp_{i-1,j+d_{i}}$ 。
以上的 $d p$ 式明显可以通过 bitset 进行优化，优化后的空间复杂度为：
$2000\\times 7.2\\times 10^6\\times4\\times4/(1024^2\\times32)\\approx 3433MB$

明显是过不了的，会被卡MLE，考虑优化。
我们先将所有的 $d_{i}$ 按 $A + B, A - B$ 的方向加上去，即与它们同正负，在将其撤回，由于这样就不用考虑与答案不在 $0$ 的同一边的状态，也就可以再给空间除掉一个二，大概有 $1717 M B$ 左右，还是会被卡空间。
继续观察，我们记 $t_{i}$ 表示 $d_{i}$ 是否会被撤回，会撤回是 $1$ ，不会撤回是 $0$ ，下面我们都不妨设 $A+B,A-B\\geqslant 0$ ,明显有
$\\sum_{i=1}^{n} d_{i}-2\\sum_{i=1}^{n} t_{i}d_{i}=A\\pm B\\Leftrightarrow\\sum_{i=1}^{n}t_{i}d_{i}=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}d_{i}-A\\mp B}{2}$
很明显，当 $\\sum_{i=1}^{n} d_{i}-A\\mp B$ 是奇数时是无解的，这两者有是同正负的，我们可以将终点就设为 $\\sum_{i=1}^{n}d_{i}-A\\mp B$ ，然后每一步有 $d_{i}$ 与不动两种情况，看最后是否能到我们的终点，这同样是上面的 $d p$ 的样子，但这样又可以给我们的值域除个二，现在就只有 $859 M B$ 了。
直接用 $b i t s e t$ 转移，然后找出到 $\\sum_{i=1}^{n}d_{i}-A\\mp B$

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