LGV引理

Posted 2021-10-22 goto_1600

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假设起点集为$S$,顶点集为$T$,求矩阵中S到T的不相交路径的方案数。
结论：
LGV说白了就是解行列式的值，$e(ai,bi)$代表方格中ai到bi的走法，由于小学数学问题显然可以用组合数知道
$e(ai，bi)=C(a到b的总步数，a到b行走的数量)$
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}e(a1,b1)& e(a1,b2)& e(a1,b3)\\ e(a2,b1)& e(a2,b2)& e(a2,b3)\\ e(a3,b1)& e(a3,b2)& e(a3,b3)\end{array} \\ \right] \end{gathered}$$
用高斯消元解就完事了，不过要注意行列式的一些性质，比如交换两行，答案的符号要*(-1)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int maxn=110;
#define int long long
int n,m;
int del[maxn][maxn];
int qmi(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1)	res=1ll*res*a%mod;
		b>>=1;
		a=1ll*a*a%mod;
	}
	return res;
}
int fact[2000010],infact[2000010];
int a[1000010],b[1000010];
void gauss(int n,int a[][maxn])
{
	int res=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int id=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(a[j][i])
				id=j;
		if((a[id][i])==0){
			continue;
		}
		if(id!=i)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			swap(a[i][j],a[id][j]);
			res=(res*-1+mod)%mod;
		}
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(j!=i)
			{
				int temp=a[j][i]*qmi(a[i][i],mod-2)%mod;
				for(int k=i+1;k<=n;k++)
					a[j][k]=(a[j][k]-temp*a[i][k]%mod+mod)%mod;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		res=res*a[i][i]%mod;
	}
	cout<<res<<endl;
}
int c(int a,int b){
	return 1ll*fact[a]*infact[b]%mod*infact[a-b]%mod;
}
signed main(){
	int _;
	cin>>_;
	fact[0]=infact[0]=1;
	for(int i=1;i<2000010;i++)
		fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%mod,infact[i]=qmi(fact[i],mod-2); 
	while(_--){
		cin>>n>>m;
		for(int i=0;i<m;i++){
			scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
		}
		for(int i=0;i<m;i++)
			for(int j=0;j<m;j++)
			{
				del[i+1][j+1]=a[i]<=b[j]?c(n-1+b[j]-a[i],n-1):0;
//				cout<<del[i][j]<<" ";
//				if(j==m-1)
//				cout<<endl;
			}
			gauss(m,del);
	}
	return 0;
}