Monotonic Matrix (LGV)

Posted 2021-10-22 goto_1600

题意：
给定n,m，求如下满足定义，是矩阵并且取值只有0，1，2三种，行递增，列递增的方案数(mod 1e9+7)
思路：

如图，左上为0，中间为1，右下为2，也就是从0,0到n,m的类不相交路径个数，为什么是类不相交呢，因为是非严格不相交，蹭到边上的方案是可以的，刚学完LGV，能不能LGV处理呢，很可惜LGV只能处理不相交的路径个数，那么我们采用扩充点，把0,0映射到1,-1,把n,m映射到n+1,m-1，然后套LGV就行了，为什么呢？可以发现0,0到n,m的路径我们都是可以通过镜像来变成1,-1到n+1,m-1的路径的，那么就是等价的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=110;
#define int long long
int n,m;
int del[maxn][maxn];
int qmi(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1)	res=1ll*res*a%mod;
		b>>=1;
		a=1ll*a*a%mod;
	}
	return res;
}
int fact[2000010],infact[2000010];
void gauss(int n,int a[][maxn])
{
	int res=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int id=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(a[j][i])
				id=j;
		if((a[id][i])==0){
			continue;
		}
		if(id!=i)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			swap(a[i][j],a[id][j]);
			res=(res*-1+mod)%mod;
		}
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(j!=i)
			{
				int temp=a[j][i]*qmi(a[i][i],mod-2)%mod;
				for(int k=i+1;k<=n;k++)
					a[j][k]=(a[j][k]-temp*a[i][k]%mod+mod)%mod;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		res=res*a[i][i]%mod;
	}
	cout<<res<<endl;

}
typedef pair<int,int> pii;
//pair<int>
pii a[4],b[4];
int c(int a,int b){
	if(a<b || a<0 || b<0)	return 0;
	return 1ll*fact[a]*infact[b]%mod*infact[a-b]%mod;
}
signed main(){
	int _;
	fact[0]=infact[0]=1;
	for(int i=1;i<2000010;i++)
		fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%mod,infact[i]=qmi(fact[i],mod-2); 
	while(cin>>n>>m){
//		cin>>n>>m;
		int k=2;
		a[0]={0,0};
		a[1]={1,-1};
		b[0]={n,m};//1 2
		b[1]={n+1,m-1};	// 2 1	
		for(int i=0;i<2;i++)
			for(int j=0;j<2;j++)
			{
				del[i+1][j+1]=c(b[j].first-a[i].first+b[j].second-a[i].second,b[j].first-a[i].first);
//				cout<<del[i+1][j+1]<<" ";
//				cout<<b[j].first-a[i].first+b[j].second-a[i].second<<" "<<b[j].first-a[i].first<<endl;
//				if(j==1)
//				cout<<endl;
			}
		
			gauss(2,del);
	}
	return 0;
}