快速幂讲解-And-AcWing-89. a^b-《算法竞赛进阶指南》

Posted 2021-10-20 Tisfy

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• 快速幂
• • 题目描述
  • 问题分析
• 快速幂模板
• • AcWing-89. a^b
  • • Problem Description
    • Tips
• AC代码

快速幂

题目描述

求$a$的$b$次方对$mod$取模的值

$1\le a,b,mod\le 10^9$

问题分析

每个正整数可以唯一表示为若干指数不重复的$2$的次幂的和。

$b$在二进制表示下有$K$位，其中第$i(0\le i<k)$位的数字是$c_i$，那么：

$b=c_{k-1}{2}^{k-1}+c_{k-2}{2}^{k-2}+\cdots +c_0{2}^0$

因此：

$a^b=a^{c_{k-1}{2}^{k-1}}\ast a^{c_{k-2}{2}^{k-2}}\ast \cdots \ast a^{c_0{2}^0}$

也就是说如果$b$的第$i$位$c_i$是$0$，那么$a^{c_i{2}^i}$就等于$a^0=1$；如果$c_i$是$1$，那么就等于$a^{2^i}$

又有$a^{2^i}=(a^{2^{i-1}}{)}^2$，而$k=lo{g}_2(\lceil b+1\rceil )$（$\lceil \rceil$表示向上取整），故时间复杂度为$O(lo{g}_{2}b)$

所以每次取$b$中的$1$位($b\&1,b>>=1$)，每次$a$都平方($a=a\ast a\%mod$)，如果$b$的这一位是$1$就累积到$ans$中。

---

快速幂模板

typedef long long ll;

ll power(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans = 1 % mod;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

如果要用int：

typedef long long ll;

int power(int a, int b, int mod)
{
    int ans = 1 % mod;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = (ll)ans * a % mod;
        a = (ll)a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

---

AcWing-89. a^b

传送门

Problem Description

求$a$的$b$次方对$mod$取模的值

Tips

$1\le a,b,mod\le 10^9$

---

AC代码

/*
 * @Author: LetMeFly
 * @Date: 2021-07-26 17:29:09
 * @LastEditors: LetMeFly
 * @LastEditTime: 2021-07-26 17:33:08
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;

int power(int a, int b, int mod)
{
    int ans = 1 % mod;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = (ll)ans * a % mod;
        a = (ll)a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << power(a, b, c) << endl;
    return 0;
}

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Tisfy：https://letmefly.blog.csdn.net/article/details/119147195