机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（20）：用配方法化二次型为标准形
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5.6 用配方法化二次型为标准形
除了用正交变换将二次型转换为标准型，还可以用拉格朗日配方法。
题目一
化二次型
f = x 1 2 + 2 x 2 2 + 5 x 3 2 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 6 x 2 x 3 f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3 f=x12+2x22+5x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3
为标准型，并求所用的变换矩阵
解答：
f = x 1 2 + 2 x 2 2 + 5 x 3 2 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 6 x 2 x 3 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 − x 2 2 − x 3 2 − 2 x 2 x 3 + 2 x 2 2 + 5 x 3 2 + 6 x 2 x 3 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 + x 2 2 + 4 x 2 x 3 + 4 x 3 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 + ( x 2 + 2 x 3 ) 2 f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3\\\\ \\quad \\\\ \\quad =(x_1+x_2+x_3)^2-x_2^2-x_3^2-2x_2x_3+2x_2^2+5x_3^2+6x_2x_3\\\\ \\quad \\\\ \\quad=(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2+4x_2x_3+4x_3^2\\\\ \\quad \\\\ \\quad =(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x_3)^2 f=x12+2x22+5x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3=(x1+x2+x3)2−x22−x32−2x2x3+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2+x22+4x2x3+4x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2
令
{ y 1 = x 1 + x 2 + x 3 y 2 = x 2 + 2 x 3 y 3 = x 3 \\begin{cases} y_1=x_1+x_2+x_3\\\\ y_2=x_2+2x_3\\\\ y_3=x_3 \\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧y1=x1+x2+x3y2=x2+2x3y3=x3
即
{ x 1 = y 1 − y 2 + y 3 x 2 = y 2 − 2 y 3 x 3 = y 3 \\begin{cases} x_1=y_1-y_2+y_3\\\\ x_2=y_2-2y_3\\\\ x_3=y_3 \\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1=y1以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（20）：用配方法化二次型为标准形的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
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