机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（21）：正定二次型
Posted 海轰Pro
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（21）：正定二次型相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
前言
Hello！小伙伴！
非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～
自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！
往期文章
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（1）：二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（2）：n阶行列式、对换
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（3）：行列式的性质
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（4）：行列式按行（列）展开
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（5）：克拉默法则
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（6）：矩阵的运算
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（7）：逆矩阵
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（8）：矩阵的初等变换
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（9）：矩阵的秩、线性方程组的解
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（10）：向量组及其线性组合
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（11）：向量组的线性相关性
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（12）：向量组的秩
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（13）：线性方程组的解的结构
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（14）：向量空间
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（15）：向量的内积、长度及正交性
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（16）：方阵的特征值与特征向量
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（17）：相似矩阵
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（18）：对称矩阵的对角化
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（19）：二次型及其标准形
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（20）：用配方法化二次型为标准形
5.7 正定二次型
二次型的标准型不是惟一的，只是标准形中所含的项数是确定的（即二次型的秩）
定理9：惯性定理
设有二次型 f = x T A x f=x^TAx f=xTAx，它的秩为 r r r，有两个可逆变换
x = C y 、 x = P z x=Cy、x=Pz x=Cy、x=Pz
使
f = k 1 y 1 2 + k 2 y 2 2 + . . . . + k r y r 2 ( k i ≠ 0 ) f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+....+k_ry_r^2(k_i\\neq0) f=k1y12+k2y22+....+kryr2(ki=0)
和
f = λ 1 z 1 2 + λ 2 z 2 2 + . . . + λ r z r 2 ( λ i ≠ 0 ) f=\\lambda_1z_1^2+\\lambda_2z_2^2+...+\\lambda_rz_r^2(\\lambda_i\\neq0) f=λ1z12+λ2z22+...+λrzr2(λi=0)
则 k 1 , . . . , k r k_1,...,k_r k1,...,kr中正数的个数与 λ 1 , . . . . , λ r \\lambda_1,....,\\lambda_r λ1,....,λr中正数的个数相等
二次型的标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性系数，负系数的个数称为负惯性系数
若二次型 f f f的正惯性系数指数为 p p p，秩为 r r r，则 f f f的规范形可确定为
f = y 1 2 + . . . + y p 2 − y p + 1 2 − . . . − y r 2 f=y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2 f=y12+...+yp2−yp+12−...−yr2
定义10
设有二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx
- 如果对任何 x ≠ 0 x\\neq0 x=0，都有 f ( x ) > 0 f(x)>0 f(x)>0，则称 f f f为正定二次型，并称对称阵A是正定的
- 如果对任何 x ≠ 0 x\\neq0 x=0，都有 f ( x ) < 0 f(x)<0 f(x)<0，则称 f f f为负定二次型，并称对称阵 A A A是负定的
定理10
n n n元二次型 f = x T A x f=x^TAx f=xTAx为正定的充分必要条件是：它的标准型的 n n n个系数全为正，即它的规范形的 n n n个系数全为1，亦即它的正惯性指数等于 n n n
推论
对称阵 A A A为正定的充分必要条件是： A A A的特征值全为正
定理11：赫尔维茨定理
对称阵 A A A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即
对称正
A
A
A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
举例
例17
判定二次型 f = − 5 x 2 − 6 y 2 − 4 z 2 + 4 x y + 4 x z f=-5x^2-6y^2-4z^2+4xy+4xz f=−5x2−6y2−4z2+4xy+4xz的正定性
解答：
二次型 f f f的矩阵 A A A为
A = [ − 5 2 2 2 − 6 0 2 0 − 4 ] A=\\begin{bmatrix} -5 & 2 & 2\\\\ 2 & -6 & 0\\\\ 2 & 0 & -4 \\end{bmatrix} A=⎣⎡−5222−6020−4⎦⎤
一阶主子式
∣ a 11 ∣ = − 5 < 0 |a_{11}|=-5<0 ∣a11∣=−5<0
二阶主子式
∣
a
11
以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（21）：正定二次型的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（16）：向量和矩阵的极限