2019西安邀请赛B.product督教筛，推柿子，线性筛约数个数

Posted 2021-10-19 goto_1600

思路：
对于化简下来的可以独角筛优化，期望n^{2/3}复杂度，还用到了如何用线性筛求某个数约数的个数，众所周知，对于任意一个数x，将它分解$\prod p{i}^{ai}$,答案就是$\prod (ai+1)$，那么考虑在线性筛的过程中，也就是prime[j]刚好是i的最小质因子，d[i]代表i的约数个数，我们开一个数组g代表每个数的最小质因子个数，那么g[iprime[j]]+=1，d除以之前的个数再乘现在的个数否则也就是prime[j]第一次出现在iprime[j],同时也是iprime[j]的最小质因子，那么g[iprime[j]]=1,d[i]*=2
链接
AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=6e5+10;
#define int long long
int n,m,mod;
unordered_map<int,int>mp1,mp2;
bool st[N];
int cnt;
int sum[N];
int sum2[N];
int mod2;
int d[N];
int g[N];
int prime[N];
int phi[N];
int qmi(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1)	res=res*a%mod2;
		b>>=1;
		a=a*a%mod2;
	}
	return res;
}
void init(){
	phi[1]=1;
	d[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!st[i])
		{
			prime[cnt++]=i;
			phi[i]=i-1;
			d[i]=2;
			g[i]=1;
		}
		for(int j=0;j<cnt && i*prime[j]<N;j++){
			st[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				d[i*prime[j]]=(d[i]/(g[i]+1)*(g[i]+2))%mod;
				g[i*prime[j]]=g[i]+1;
				break;
			}
			d[i*prime[j]]=d[i]*2%mod;
			g[i*prime[j]]=1;
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=N-1;i++)
	{
		sum[i]=(sum[i-1]+phi[i])%mod;
		sum2[i]=(sum2[i-1]+d[i]*i)%mod;
	}
}
int sum_phi(int x){
	// if(x<0)
	// return 0;
	if(x<=N-1)	return sum[x];
	if(mp1.count(x))	return mp1[x];
	int res=x*(x+1)/2%mod;
	for(int i=2,j;i<=x;i=j+1){
		 j=min(x,x/(x/i));
		res=(res-(j-i+1)*sum_phi(x/i)+mod)%mod;
	}
	// res%=mod;
	// if(res<0)	res+=mod;
	
	return mp1[x]=res;
}
int Sum(int n){
	
	if(n<=N-1)
	return sum2[n];
	if(mp2.count(n))	return mp2[n];
	int res=0;
	for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
	{
		 j=min(n,n/(n/i));
		int val=(n/i+1)*(n/i)/2;
		res=(res+(j+i)*(j-i+1)/2%mod*val)%mod;
	}
	res%=mod;
	if(res<0)
	res+=mod;
	return mp2[n]=res;
}
signed main(){
	
	cin>>n>>m>>mod;
	mod2=mod;
	mod--;
	init();
	// cout<<sum2[1000000]<<endl;
	int res=0;
	for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
	{
		j=min(n,n/(n/i));
		res=(res+(2*sum_phi(n/i)-1)*(Sum(j)-Sum(i-1)))%mod;
	}
	if(res<0)
	res+=mod;
	// cout<<mod<<endl<<mod2<<endl;
	cout<<qmi(m,res)<<endl;
	return 0;
}