机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（18）：对称矩阵的对角化

Posted 2021-10-18 海轰Pro

目录

• 前言
• 往期文章
• 5.4 对称矩阵的对角化
• • 定理5
  • 定理6
  • 定理7
  • 推论
  • 举例
  • • 例12
    • 例13
• 结语

前言

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5.4 对称矩阵的对角化

定理5

对称阵的特征值为实数

定理6

设${\lambda }_1,{\lambda }_2$是对称阵$A$的两个特征值，$p_1,p_2$是对应的特征向量。若${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$，则$p_1$与$p_2$正交

证明：

因为${\lambda }_1,{\lambda }_2$是对称阵$A$的两个特征值，$p_1,p_2$是对应的特征向量

所以，有

$$\{\begin{array}{l}A{p}_1={\lambda }_1{p}_1\\ A{p}_2={\lambda }_2{p}_2\end{array}$$

因为$A$对称 所以$A=A^T$

$${\lambda }_1{p}_1^T=({\lambda }_1{p}_1{)}^T=(A{p}_1{)}^T=p_1^T{A}^T=p_1^{T}A$$

那么

$${\lambda }_1{p}_1^T{p}_2=({\lambda }_1{p}_1^T)p_2=p_1^{T}A{p}_2=p_1^T(A{p}_2)=p_1^T({\lambda }_2{p}_2)={\lambda }_2{p}_1^T{p}_2$$

即

$${\lambda }_1{p}_1^T{p}_2={\lambda }_2{p}_1^T{p}_2$$

$${\lambda }_1{p}_1^T{p}_2-{\lambda }_2{p}_1^T{p}_2=({\lambda }_1-{\lambda }_2)p_1^T{p}_2=0$$

因为

$${\lambda }_1\ne {\lambda }^{机器学习｜数学基础Mathematics\; for\; Machine\; Learning系列之图论：树及其性质}$$

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