樱花（约数之和）

Posted 2021-10-17 li_wen_zhuo

题目描述

给定一个整数 n，求有多少正整数数对 (x,y) 满足 1/x+1/y=1/n!。

输入格式

一个整数 n。

输出格式

一个整数，表示满足条件的数对数量。
答案对 10⁹+7 取模。

数据范围

1≤n≤106

输入样例
2
输出样例
3

样例解释

共有三个数对 (x,y) 满足条件，分别是 (3,6),(4,4),(6,3)。

题目分析

$首先我们先对公式进行一下化简：$
$1/x+1/y=1/n!$
$(x+y)/(x\ast y)=1/n!$
$(x+y)\ast n!=x\ast y$
$x\ast n!=y(x-n!)$
$y=(x\ast n!)/(x-n!)$
$y=(x-n!+n!)\ast n!/(x-n!)$
$y=(x-n!)\ast n!/(x-n!)+n{!}^2/(x-n!)$
$y=n!+n{!}^2/(x-n!)$

$我们可以来分析一下这个公式：$
$1、x与y是一一对应的。$
$2、根据题目，x与y都必须为整数。那么如果y要为整数，n{!}^2/(x-n!)就必须要为整数。$
$3、当x-n!为n{!}^2的约数时，n{!}^2/(x-n!)为整数。$

$又因为x可以取到任意整数，由此我们可以推出：(x,y)的对数即为n{!}^2约数的个数。然后我们只需要套用约数个数$$公式，求出n{!}^2的约数和即可。$

$注：求约数个数的公式为$
$N=p{1}^{a1}\ast p{2}^{a2}\ast p{3}^{a3}\ast \dots \dots \ast p{n}^{an}$
$numN=(a1+1)\ast (a2+1)\ast (a3+1)\ast \dots \dots \ast (an+1)$

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <set>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<int,int>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=1e6+5,mod=1e9+7;
int prime[N],cnt;
bool st[N];
void init(int n)				//线筛模板
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i]) prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;prime[j]*i<=n;j++)
        {
            st[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    init(n);
    int ans=1;
    for(int i=0;i<cnt;i++)			//枚举所有素数
    {
        int num=0;					//记录n!中有多少个素数prime[i]
        for(int j=n;j;j/=prime[i]) num+=j/prime[i];
        ans=(LL)ans*(2*num+1)%mod;	//因为求的是n!^2的约数，因此这里要乘(2*num+1)
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}