用 QQ-Plot 验证正太分布

Posted 2021-10-17 爱码哥

一、问题：

检验一序列是否服从正态分布

序列为X = {x1,x2...xN}

二、QQ图验证法：

1、将原序列按开序重新排列

x1<x2<...xi...<xN

2、计算QQ序列：

（1）、样本均值和标准差

（2）、分位数： 

（3）、通过正态分布表可以查得 ti对应的分位数Q'，计算如下：

 3、画出QQ图：

即Q--Q'图，与y = x线进行比较，若基本吻合则原序列服从正态分布，若相差较大则不服从正态分布。

 4、接受区间：
采用Michael拟合优度检验方法给出QQ图的接受区间。

Michael 拟合优度统计量：
，其中， ，，。
通过它可以在图上加上100(1-a)%接受区间，接受区间界线对应的值计算公式如下:

 三、举例说明：

试判断如下数据是否服从正态分布：42、65、75、59、57、68、54、55、78、71

整理并计算得：

平均值：62.4，方差：11.0373，显著水平a=0.1，Q1、Q2，Q'1、Q'2为界值，画Q-Q'图，即y=x,如下所示： 

 

从图可以看出，Q--Q'对应点较为均匀的分布在y = x附近，而且全部落在90%的接受区间，因而认为该数列服从正态分布。

四、R语言画图验证：

#准备数列：
a <- c(42,65,75,59,57,68,54,55,78,71)
#计算分位数，均值，
plot((rank(a)-0.5)/length(a), pnorm(mean=mean(a), sd=sqrt(a), a), main="PP plot")
#绘制45度线
abline(0, 1, col=2, lwd=2) 

计算机画出的plot图如下：