E - Distance on Large Perfect Binary Tree(数学&LCA)

Posted 2021-10-16 Harris-H

E - Distance on Large Perfect Binary Tree(数学&LCA)

记结点$u$到根的距离为$u$的深度。

记录$dis(u,v)=D$时$LCA(u,v)$的深度为$i$的答案为：$f(i)$。

情况1：当$i=dep(u)ori=dep(v)$ 时，答案为$2^{D}or0$。

枚举层$i$

当前层$i$与叶子的距离为：$r=n-i$。

如果$r\ge d$ 显然情况1答案为：$2^D$。

否则为0。

情况2：显然要分别从结点的左子树和右子树各选择一个结点。

假设左边选择的点$u$距离点$lca$为$k$，则右边距离为：$D-k$。

对应的贡献为：$2^{k-1}\times 2^{D-k-1}=2^{D-2}$

要满足$max(k,D-k)\le r,k\in (0,D)$

则$k$的右端点取值范围：$L=min(r,D-1)$

左端点取值范围：$D-L$。

要满足$L\le R$才有贡献。

然后每次计算贡献时都要乘上该层结点的个数：$2^{i-1}$

时间复杂度：$O(max(n,d))$

// Problem: E - Distance on Large Perfect Binary Tree
// Contest: AtCoder - AtCoder Beginner Contest 220
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc220/tasks/abc220_e
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// Date: 2021-09-26 22:37:27
// --------by Herio--------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=2e6+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=998244353;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<ll,ll>
#define x first
#define y second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr) 
void Print(int *a,int n){
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	printf("%d\\n",a[n]); 
}
int n,d;
ll a[N],ans;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&d);a[0]=1;
	int mx=max(n,d);
	rep(i,1,mx) a[i]=(a[i-1]<<1)%mod;
	rep(i,1,n){
		int r=n-i;//rest down dis
		if(r>=d) ans=(ans+a[i-1]*a[d]%mod)%mod;
		int R=min(r,d-1);
		int L=d-R;
		if(L>R) continue;
		ans=(ans+(R-L+1)*a[i-1]%mod*a[d-2]%mod)%mod;
	}
	ans=(ans<<1)%mod;
	printf("%lld\\n",ans);
	return 0;
}