机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（15）：向量的内积长度及正交性
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5.1 向量的内积、长度及正交性
定义1
内积
设有
n
n
n维向量
x
=
[
x
1
x
2
.
.
.
x
n
]
,
y
=
[
y
1
y
2
.
.
.
y
n
]
x=\\begin{bmatrix} x_1\\\\ x_2\\\\ .\\\\ .\\\\ .\\\\ x_n \\end{bmatrix},y = \\begin{bmatrix} y_1\\\\ y_2\\\\ .\\\\ .\\\\ .\\\\ y_n \\end{bmatrix}
x=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x1x2...xn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤,y=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡y1y2...yn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
令
[ x , y ] = x 1 y 1 + x 2 y 2 + . . . + x n y n = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) [ y 1 y 2 . . . y n ] [x,y]=x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n=(x_1,x_2,...,x_n)\\begin{bmatrix} y_1\\\\ y_2\\\\ .\\\\ .\\\\ .\\\\ y_n \\end{bmatrix} [x,y]=x1y1+x2y2+...+xnyn=(x1,x2,...,xn)⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡y1y2...yn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
[ x , y ] [x,y] [x,y]称为向量 x x x与 y y y的内积
内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵符号表示，当 x x x和 y y y都是列向量时，有
[ x , y ] = x T y [x,y]=x^Ty [x,y]=xTy
内积具有的性质：（ x , y , z x,y,z x,y,z为 n n n维向量， λ \\lambda λ为实数）
- [ x , y ] = [ y , x ] [x,y] = [y, x] [x,y]=[y,x]
- [ λ x , y ] = λ [ x , y ] [ \\lambda x,y]=\\lambda[x,y] [λx,y]=λ[x,y]
- [ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ] [x+y,z] = [x, z] + [y,z] [x+y,z]=[x,z]+[y,z]
- 当 x = 0 x=0 x=0时， [ x , x ] = 0 [x,x]=0 [x,x]=0；当 x ≠ 0 x\\neq0 x=0时， [ x , x ] > 0 [x,x]>0 [x,x]>0
施瓦茨不等式
[ x , y ] 2 ≤ [ x , x ] [ y , y ] [x,y]^2 \\leq[x,x][y,y] [x,y]2≤[x,x][y,y]
定义2
向量长度、单位向量
令
∣ ∣ x ∣ ∣ = [ x , x ] = x 1 2 + x 2 2 + . . . . + x n 2 ||x||=\\sqrt{[x,x]}=\\sqrt{x_1^2+x_2^2+....+x_n^2} ∣∣x∣∣=[x,x]=x12+x22+....+xn2
∣ ∣ x ∣ ∣ ||x|| ∣∣x∣∣称为 n n n维向量 x x 以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（15）：向量的内积长度及正交性的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
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