机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（17）：相似矩阵
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5.3 相似矩阵
定义7：相似矩阵
设 A , B A,B A,B都是 n n n阶矩阵，若有可逆矩阵 P P P，使得
P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B
则称 B B B是 A A A的相似矩阵 (或称 A A A与 B B B相似)
对 A A A进行的运算 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP称为对 A A A进行相似变换
可逆矩阵 P P P称为把 A A A变成 B B B的相似变换矩阵
定理3
若 n n n阶矩阵 A A A与 B B B相似，则 A A A与 B B B的特征多项式相同，从而 A A A与 B B B的特征值也相同
证明：
因为 A A A与B相似，即存在可逆矩阵 P P P，使得
P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B
那么
∣ B − λ E ∣ = ∣ P − 1 A P − P − 1 ( λ E ) P ∣ = ∣ P − 1 ( A − λ E ) P ∣ = ∣ P − 1 ∣ ∣ A − λ E ∣ ∣ P ∣ = ∣ P − 1 ∣ ∣ P ∣ ∣ A − λ E ∣ = ∣ A − λ E ∣ |B-\\lambda E|=|P^{-1}AP-P^{-1}(\\lambda E)P|=|P^{-1}(A-\\lambda E)P|=|P^{-1}||A-\\lambda E||P|=|P^{-1}||P||A-\\lambda E|=|A-\\lambda E| ∣B−λE∣=∣P−1AP−P−1(λE)P∣=∣P−1(A−λE)P∣=∣P−1∣∣A−λE∣∣P∣=∣P−1∣∣P∣∣A−λE∣=∣A−λE∣
Note：
- ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|=|A||B| ∣AB∣=∣A∣∣B∣
- A A A可逆的情况下 ∣ A ∣ ∣ A − 1 ∣ = ∣ E ∣ = 1 |A||A^{-1}|=|E|=1 ∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1
即
∣ B − λ E ∣ = ∣ A − λ E ∣ |B-\\lambda E|=|A-\\lambda E| ∣B−λE∣=∣A−λE∣
所以 A A A与 B B B的特征多项式相同，从而 A A A与 B B B的特征值也相同
备注：为什么 ∣ B − λ E ∣ = ∣ P − 1 A P − P − 1 ( λ E ) P ∣ ? |B-\\lambda E|=|P^{-1}AP-P^{-1}(\\lambda E)P|? ∣B−λE∣=∣P−1AP−P−1(λE)P∣?
首先
B = P − 1 A P B=P^{-1}AP B=P−1AP
有
∣ B − λ E ∣ = ∣ P − 1 A P − λ E ∣ |B-\\lambda E|=|P^{-1}AP-\\lambda E| ∣B−λE∣=∣P−1AP−λE∣
其次
P − 1 ( λ E ) P = λ P − 1 E P = λ P − 1 P = λ E P^{-1}(\\lambda E)P=\\lambda P^{-1}EP=\\lambda P^{-1}P=\\lambda E P−1(λE)P=λP−1EP=λP−1P=λE
P − 1 P = E P^{-1}P=E P−1P=E
即
P − 1 ( λ E ) P = λ E P^{-1}(\\lambda E)P=\\lambda E P−1(λE)P=λE
所以才有
∣ B − λ E ∣ = ∣ P − 1 A P − P − 1 ( λ E ) P ∣ |B-\\lambda E|=|P^{-1}AP-P^{-1}(\\lambda E)P| ∣B−λE∣=∣P−1AP−P−1(λE)P∣
推论
若 n n n阶矩阵 A A A与对角阵
Λ
=
[
λ
1
λ
2
.
.
.
λ
n
]
\\Lambda=\\begin{bmatrix} \\lambda_1 & & & & \\\\ & \\lambda_2 & & & \\\\ & & . & & & \\\\ & & & . & & \\\\ & & & & .& \\\\ & & & & & \\lambda_n \\\\ \\end{bmatrix}
Λ=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡λ1λ2.< 以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（17）：相似矩阵的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（16）：向量和矩阵的极限