鸽巢定理（21.9.26）

Posted 2021-10-15 未定_

一、鸽巢定理（抽屉定理）

把n+1个物体放进n个盒子，至少一个盒子包含两个或更多的物体。

进一步考虑，把n个物体放进m个盒子，至少有一个盒子包含 [(n-1)/m]+1 个或更多的物体。

举个例子：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

我们知道，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数。所以，题目就变成了任取8个自然数，其中有两个自然数除以7的余数相同。这样就可以根据余数的不同分成7个盒子，即余数是0，1，2，3，4，5，6，7。任取八个自然数放进7个盒子，至少一个盒子中有两个数余数一样。

二、例题

Problem - 1205

题意：Gardon吃糖，不喜欢将一样的糖果放在一起吃，喜欢先吃一种，下一次吃另一种，是否存在一种吃糖果的顺序使得他能把所有糖果都吃完？

分析：可以考虑隔板法，把数量最多的一种糖果做为隔板，比如最多的糖果数为n，则可以分成n+1个空间，因为其余种类的糖果数一定小于n，所以可以把同种糖果放入不同的空间，但是，如果剩余的糖果数小于n-1,(这里只考虑隔板围起来的部分，不考虑两头），必然有空间没有放糖果，造成最多数量的那种糖果有相邻的情况，不符合题意。记糖果总数为sum，只有sum-n>=n-1时，才符合题意。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        long long int n,sum=0,maxx=-1,a;
        cin>>n;
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            cin>>a;
            sum+=a;
            maxx=max(maxx,a);
        }
        if(sum-maxx>=maxx-1)
            cout<<"Yes"<<endl;
        else cout<<"No"<<endl;
    }
}

Problem - B - Codeforces

题意：已知字符a，b，c的数量，是否可以组成一个字符串，仅有m对相邻的字符相同。

分析：已知n个相同的字符组成的字符串有n-1对相邻的字符相同，如果字符a,b,c不随机组合，同a同b同c的相邻，则m最大为（a-1+b-1+c-1）对，即a+b+c-3对。

求m的最小值，考虑抽屉定理，找最多的字符，比如a为最多的字符，a做隔板，如果(a-1)-(b+c)>0则一定有相邻的a（如上题吃糖），并且(a-1)-(b+c)就是最小的m,因为m大于等于0，所以m的最小值应该为max(0,a-1-b-c)。不难理解，求m的最小值，就是尽可能让字符组合，多出来的部分放在两头（隔板中间为空）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int a[3],m;
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>a[0]>>a[1]>>a[2]>>m;
        sort(a,a+3);
        int sum=a[0]+a[1]+a[2],maxx,minn;
        maxx=sum-3;
        minn=max(0,a[2]-1-(a[0]+a[1]));
        if(m>=minn&&m<=maxx)
            cout<<"YES"<<endl;
        else cout<<"NO"<<endl;
    }
    return 0;
}