量子力学 全同粒子

Posted 2023-03-06 myjs999

如果势能与时间无关，那么$\Psi =\psi e^{-iEt/\hslash }$，$E$是系统的总能量。

全同粒子分为玻色子和费米子。所有电子是全同的费米子。所有质子是全同的费米子。全同就是说不可能区分出其中的一个，比如说你摇了五个骰子，在掀开盖子之前我们好像没必要区分出其中的一个骰子（这是好例子还是坏例子？）。

两个全同的费米子不能有相同的波函数，这是泡利不相容原则。

如果两个粒子全同，那么哈密顿算符对于他们是一样的，就是说质量相等，并且$V({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2)=V({\mathbf{r}}_2,{\mathbf{r}}_1)$。$P$是交换算符，它的本征值是$\pm 1$。然后$P$和$H$对易。这很重要。我们知道$H$的本征函数就是薛定谔方程的解了。那么它们也要是$P$的本征函数，就是说$\psi ({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2)=\pm \psi ({\mathbf{r}}_2,{\mathbf{r}}_1)$。这里，玻色子取正号，费米子取负号。这是一般情况；可以分开的情况是特殊的（可以看见特殊满足一般）。

对于电子，总的波函数还要乘上自旋，即$\psi \chi$。如果我们希望这个一共是反对称的，而如果要$\psi$是对称的，就必须$\chi$是反对称的，所以现实里1,1合成中选择0,0合成态。

20:40
可以找到不对称也不反对称的薛定谔方程的解。如果要构造属于全同粒子的解，可以构造。

自旋波函数和位置波函数必须一个对称一个反对称。

角动量的合成也和自旋角动量一样，范围是差的绝对值到和。

正氦因为自旋波函数是对称的，所以位置波函数是反对称的，所以电子之间离得远，排斥势能低。Parahelium反之。