线性代数本质3：矩阵和线性变换
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性代数本质3：矩阵和线性变换相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
要说线性代数的精髓是什么？我认为就是本节的标题： 矩阵和线性变换的关系。
一：线性变换
“变换”其实是函数的一个别称，函数我们很熟悉，它会接受内容而输出结果
那么线性变换呢？所以我们考虑的是输入一个向量经过变换之后再输出对应的向量
那么既然变换就是函数，为什么不叫“线性函数”而叫线性变换呢？
其实，变换相对于函数来讲，它更具有一种运动的感觉，是在暗示你用运动的角度去思考向量的函数
- 输入向量移动到了输出向量的位置
第二个需要理解的就是线性二字，线性的对立面就是非线性，所以非线性变换的呈现在向量的感受就是下面这样
- 复平面
f
(
z
)
=
z
2
2
f(z)=\\frac{z^{2}}{2}
f(z)=2z2变换
- 复平面
f
(
z
)
=
e
z
f(z)=e^z
f(z)=ez变换
可以看出非线性变换是异常复杂的，但是幸运的是，这里讲的线性变换，将变换限制在了一种特定的类型上
如果一个变换具有以下两条性质，我们就称它是线性的
-
1：直线在变换后仍旧是直线，不能有所弯曲（下面动图是反例，直线被弯曲）
-
2：原点必须固定（下面是反例，直线虽然还是直线，但是原点移动了）
-
3：额外补充一点-对角线也不能弯曲（下面第一张图看起来好像是线性的，但是第二张图揭示了对角线弯曲了）
-
综上，线性变换必须是：保持网格平行且等距分布的变换
二：矩阵
可以发现，从图像上理解线性变换比较直观但是难以表达，既然线性代数的核心就是数字和空间的对应，那么我们如何使用数值去描述我们上面讲到的线性变换呢？
- 其实线性代数的一个经典例子就是游戏和动画——你想要让一个角色移动到某个位置后或者其自身发出怎样的动作，你能给出什么样的计算公式，依次得到变换后的坐标呢？
比如现在有一个向量
(
−
1
2
)
\\begin{pmatrix} -1\\\\ 2\\end{pmatrix}
(−12)，根据上一篇文章所提到的，它就是就是基向量
i
j
ij
ij的线性组合
假如现在我们施加一个线性变换如下
大家可以看到这里变换之后，
v
‾
\\overline v
v和
i
j
ij
ij都发生了变换，都不是以前的
v
v
v和
i
j
ij
ij，那么由于线性变换会保证网格线平行且等距分布，所以变换后的
v
v
v的位置是-1与变换后
i
i
i之积+2与变换后
j
j
j之积
或者换句话说：既然
v
‾
\\overline v
v是
i
j
ij
ij的特定的线性组合，那么变换后的
v
‾
\\overline v
v也是变换后的
i
j
ij
ij的特定的线性组合
这一点非常重要：你可以只根据变换后的 i j ij ij推断出变换后的 v ‾ \\overline v v
在上图所示的情形中变换后的向量 i j ij ij分别为 ( 1 − 2 ) \\begin{pmatrix} 1\\\\ -2\\end{pmatrix} (1−2)和 ( 3 0 ) \\begin{pmatrix} 3\\\\ 0\\end{pmatrix} (30)，于是，变换后的 v ‾ \\overline v v=-1 ( 1 − 2 ) \\begin{pmatrix} 1\\\\ -2\\end{pmatrix} (1−2)+2 ( 3 0 ) \\begin{pmatrix} 3\\\\ 0\\end{pmatrix} (30)= ( − 1 ( 1 ) + 2 ( 3 ) − 1 ( − 2 ) + 2 ( 0 ) ) \\begin{pmatrix} -1(1)+2(3)\\\\ -1(-2)+2(0)\\end{pmatrix} (−1(1)+2(3)−1(−2)+2(0))= ( 5 2 ) \\begin{pmatrix} 5\\\\ 2\\end{pmatrix} (52)，于是变换后的 v ‾ \\overline v v一定落在 ( 5 2 ) \\begin{pmatrix} 5\\\\ 2\\end{pmatrix} (52)处
以上是关于线性代数本质3：矩阵和线性变换的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章