七周打卡剑指offer《剪绳子》

Posted 2021-10-14 JunMain

剪绳子

题目描述

给你一根长度为 $n$ 绳子，请把绳子剪成 $m$ 段（m、n 都是整数，$2\le n\le 58$ 并且 $m\ge 2$）。

每段的绳子的长度记为$k[1]、k[2]、\dots \dots 、k[m]$

$k[1]k[2]\dots k[m]$ 可能的最大乘积是多少？

样例

例如当绳子的长度是 8 时，我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段，此时得到最大的乘积 18。

输入：8

输出：18

题解：

这是一个完全背包问题，把一个自然数N拆分成若干个数相加，且拆分的数的个数至少两个以上，求拆分数字的乘积的最大值。
定义集合：$f[i][j]$的含义从前i个数选，和为j选法的集合
属性：MAX
集合的划分：通过选不选第i个数划分集合
不选：$f[i][i]=f[i-1][j]$
选1-k个：$f[i][j]=max(f[i-1][j-i]\ast i,f[i-1][j-2i]\ast i^2,...,f[i-1][j-ki]\ast i^k,\cdot \cdot \cdot )$
$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-i]\ast i,f[i-1][j-2i]\ast i^2,...,f[i-1][j-ki]\ast i^k,\cdot \cdot \cdot )$

等价变形 $f[i][j-i]=max(f[i-1][j-2i]\ast i,...,f[i-1][j-ki]\ast i^{k-1},\cdot \cdot \cdot )$

综上：$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-i]\ast i)$

N = 2 和 3的时候特判一下

代码：

$O(n^2)$

class Solution {
public:
    int maxProductAfterCutting(int length) {
        int ans = 0, cnt = 0;
     
        int f[60][60] = {0};
        for (int i = 0; i <= length; i ++)  f[i][0] = 1, f[0][i] = 1;
        
        for (int i = 1; i <= length; i ++){
            for (int j = 1; j <= length; j ++){
                f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j]);
                if (j >= i) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-i]*i);
            }
        }
        
        if (length == 2 || length == 3)    return length - 1;
        return f[length][length]; 
    }
        
};