质数距离（筛素数）

Posted 2021-10-14 li_wen_zhuo

题目描述

给定两个整数 L 和 U，你需要在闭区间 [L,U] 内找到距离最接近的两个相邻质数 C1 和 C2（即 C2−C1 是最小的），如果存在相同距离的其他相邻质数对，则输出第一对。
同时，你还需要找到距离最远的两个相邻质数 D1 和 D2（即 D1−D2 是最大的），如果存在相同距离的其他相邻质数对，则输出第一对。

输入格式

每行输入两个整数 L 和 U，其中 L 和 U 的差值不会超过 106。

输出格式

对于每个 L 和 U，输出一个结果，结果占一行。
结果包括距离最近的相邻质数对和距离最远的相邻质数对。（具体格式参照样例）
如果 L 和 U 之间不存在质数对，则输出 There are no adjacent primes.。

数据范围

1≤L<U≤231−1

输入样例
2 17
14 17
输出样例
2,3 are closest, 7,11 are most distant.
There are no adjacent primes.

题目分析

本题中区间给定的范围是[1,2³¹-1]，很明显没法直接用筛法求出答案。因此我们需要去挖掘本题中的某些性质，从而求出答案：

• 性质1： 若一个数 $n$ 是一个合数，必然存在2个因子$d,n/d$，假设$d<=n/d$，则$d<=\sqrt{n}$，因此这一对因子中必然存在一个小于等于 $\sqrt{n}$的因子
• 性质2： 若$x\in [L,R]$,且x是合数，则一定存在$P<=\sqrt{2^{31}-1}(<50000)$，使得P能整除x，其中P < x.

有了这些性质，我们就可以以此来推出这个题的解法了：

1. 用筛法求出$[1,\sqrt{2^{31}-1}(50000)]$区间内的素数。
2. 对于$1-50000$内的每一个素数p，将区间$[L,R]$内所有p的倍数全部筛掉。经过了这样的筛选之后，区间$[L,R]$内剩下的数就都是素数了。
3. 补充：要筛掉$[L,R]$内所有p的倍数，我们只需要找到大于等于L的p的最小倍数（ $(L+p-1)/p\ast p$ ），之后每次+p即可。

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <set>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<int,int>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=1e6+5,INF=0x3f3f3f3f;
int prime[N],cnt;
bool st[N];
void init(int n)				//线筛求素数
{
    cnt=0;
    memset(st,0,sizeof st);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i]) prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;prime[j]*i<=n;j++)
        {
            st[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    int l,r;
    while(cin>>l>>r)				//有多组测试样例，因此要用while读入
    {
        init(50000);				//初始化
        memset(st,0,sizeof st);		//因为后面我们会复用st[]和prime[]数组，因此这里要重新清空st[]
        for(int i=0;i<cnt;i++)
        {
            LL p=prime[i];					//筛掉[l,r]区间内所有p的倍数（最小要从2开始）
            for(LL j=max(2*p,(l+p-1)/p*p);j<=r;j+=p)
                st[j-l]=true;
        }
        cnt=0;
        for(int i=0;i<=r-l;i++)				//将剩下的没被筛掉的数放入存入prime[]中（注意要把1特判掉）
            if(!st[i]&&i+l>1) prime[cnt++]=i+l;
        
        if(cnt<2) puts("There are no adjacent primes.");
        else {
            int maxp=1,minp=1;
            for(int i=2;i<cnt;i++)				//枚举区间内所有的素数，记录距离的最小值与最大值
            {
                int d=prime[i]-prime[i-1];
                if(prime[maxp]-prime[maxp-1]<d) maxp=i;
                if(prime[minp]-prime[minp-1]>d) minp=i;
            }
            printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\\n",
                prime[minp-1],prime[minp],prime[maxp-1],prime[maxp]);
        }
    }
    return 0;
}