损失函数（Loss Function）则是这个过程中关键的一个组成部分，用来衡量模型的预测输出{Y_pred}与样本真实值{Yi}的之间的差距，并给模型的优化指明方向：针对给定的样本{Xi}，其误差最小，即预测输出{Y_pred}与样本真实值{Yi}尽可能的接近，尽可能的相似。loss值越小，相似度越高，误差越小。

在实际工程中，由于{Y_real}是未知的，因此，在监督式学习中，使用样本标签{Yi}作为样本数据集{Xi}的真实值！！！！

由于实际样本数据集不是单个数据，因此，loss函数实际是所有样本误差的平均，反映的是模型对样本数据集中所有样本的预测映射关系 {Xi -> Yi_pred}，与已知的样本标签的映射关系{Xi -> Yi_pred}整体的相似程度，而不是单个样本的相似程度！！！！

在相同的应用场合，描述相似程度的loss数学函数不尽同。

在不同的应用场合，描述相似程度的loss数学函数不尽同。

因此就有各种不同的loss函数，如均方差损失 Mean Squared Loss、平均绝对误差损失 Mean Absolute Error Loss、Huber Loss、分位数损失 Quantile Loss、交叉熵损失函数 Cross Entropy Loss、Hinge 损失 Hinge Loss。

不同的损失函数的基本的函数表达式、原理、特点并不相同方面。

因此，损失函数研究的是：如何表达两个函数（X-Y的映射关系称为函数）之间的相似程度的数学表达式。

因此，损失函数研究的是：如何表达两个函数（X-Y的映射关系称为函数）之间的距离远近的数学表达式。

本文重点阐述：

均方差损失 Mean Squared Loss、平均绝对误差损失 Mean Absolute Error Loss、Huber Loss。

这些损失函数主要应用于线性拟合或线性回归，而不是逻辑分类。

备注：

在本文中 Yi_pred也表示为

第2章平均绝对误差损失Mean Absolute Error Loss(MAE)

2.1 概述

描述两个函数之间距离远近最容易想到的就是：在相同的Xi输入下，两个函数输出Yi的差的绝对值。平均绝对误差损失正是基于这样的考虑。

2.2 loss函数的数学表达式

其数学函数表达式为：

平均绝对误差损失也称为 L1 Loss。

2.3 loss函数的几何图形与意义

从上图可以看出：

loss函数值与（Yi-Yi_pred）值之间的关系是线性关系。
MAE函数是有最小值的。
当Yi-Yi_pred>0时，其导数(梯度)恒定为1，也就是任意点的梯度值与离loss最小值的距离远近没有关系。
当Yi-Yi_pred<0时，其导数（梯度）恒定为-1，也就是任意点的梯度值与离loss最小值的距离远近没有关系。
当Yi-Yi_pred=0时，其导数（梯度）恒定为0。

2.4 特点

第3章均方差损失 Mean Squared Error Loss(MSE)

3.1 概述

3.2 loss函数的数学表达式

均方差损失也称为 L2 Loss。

3.3 loss函数的几何图形与意义

（1）一元模型

（2）多元函数

从上图可以看出：

loss函数值与（Yi-Yi_pred）之间的关系是非线性的平方关系，也就是说MSE具有对（Yi-Yi_pred）放大的作用。
该MSEloss函数是有最小值的，多元函数的损失函数：有可能有多个极小值，有一个最小值。
任意点的（Yi-Yi_pred）误差越大，该点处的导数（梯度）越大，迭代迭代时的步伐越大，当大于1时，MSE函数的梯度具有放大作用，收敛越快，大步流星。
任意点的（Yi-Yi_pred）误差越小，该点处的导数（梯度）越小，迭代迭代时的步伐越小，当大于1时，MSE函数的梯度具有缩小作用，收敛越精细，收敛越慢，小步慢挪。
任意点的（Yi-Yi_pred）等于0时，该点处的导数（梯度）等于0，为极小值。

3.4 特点

第4章 MSE与MAE的比较

上图是 MAE 和 MSE 损失画到同一张图里面。

MAE 损失与绝对误差之间是线性关系。
MSE 损失与误差是平方关系。
当误差非常大的时候，MSE 损失会远远大于 MAE 损失。因此当数据中出现一个误差非常大的离群值outlier 时，MSE 会产生一个非常大的损失和梯度，对模型的训练会产生较大误导性影响，优点是，收敛速度快，快速逼近离群值（辩证的看，这其实不是一件好事：粗枝大叶）。
当误差非常小的时候，MSE 损失会远远小于 MAE 损失。因此当数据中出现一个误差非常小的理想值是，MSE 会产生一个非常小的损失和梯度，说明模型的相似度越好，逼近理想目标值的精度越高，缺点是收敛变慢（辩证的看，这其实是一件好事：慢工出细活）。

第5章平滑平均绝对误差Huber Loss (SMAE)

5.1 概述

MSE 损失收敛快但容易受 outlier 影响。

MAE 对 outlier 更加健壮但是收敛慢。

Huber Loss 则是一种将 MSE 与 MAE 结合起来，取两者优点的损失函数，也被称作 Smooth Mean Absolute Error Loss （SMAE)。

其原理和规则很简单：

当样本Xi的误差小于1或接近于0时，其误差使用MSE来计算。

当样本Xi的误差大于1或更大时，其误差使用MAE来计算。

SMAE优缺点：

优点是：获取更高的训练后模型精度，训练后的模型与目标的相似度高。

缺点是：牺牲了模型训练的时间，模型收敛相对于MSE变慢，需要更长的时间对模型进行训练。

如何同同一个函数，同时能够表达上述的规则呢？

5.2 SMAE的loss函数的数学表达式 - 方法1

（1）数学表达式

（2）几何图形与物理意义

当|Yi-Yi_pred| < （Yi-Yi_pred）^2 时，表明在下方，（Yi-Yi_pred）^2放大了误差效果，loss函数采用|Yi-Yi_pred| 。
当|Yi-Yi_pred| > （Yi-Yi_pred）^2 时，（Yi-Yi_pred）^2缩小了误差效果，loss函数采用（Yi-Yi_pred）^2 。
当|Yi-Yi_pred| = （Yi-Yi_pred）^2 时，表明是相交点，采用|Yi-Yi_pred|和（Yi-Yi_pred）^2是等效的。

（3）主要优缺点

优点：这种方法简洁、明了。

缺点：规则僵化，不可控，不可调，只能根据|Yi-Yi_pred| 与（Yi-Yi_pred）^2的大小关系，选择loss函数的来源，是|Yi-Yi_pred|还是（Yi-Yi_pred）^2。

SMAE并没有采样上述方法，而是采用了更加灵活的方案，如下方法2：

5.2 SMAE的loss函数的数学表达式 - 方法2

（1）数学表达式

或表示成：

该种方法的特点：

选择条件：SMAE的loss函数的值，对于某个样本，选择MAE还是MSE，直接取决于|Yi - Yi_pred|绝对值的大小，而不是|Yi - Yi_pred|与（Yi - Yi_pred）相对值的大小。
控制条件：这种方法选择条件，可以通过超参数θ来控制，当|Yi - Yi_pred|绝对值小于θ，loss函数值，来自于MAE, 即|Yi - Yi_pred|； |Yi - Yi_pred|绝对值大于θ， loss函数值来自于（Yi - Yi_pred）^2. |Yi - Yi_pred|绝对值等于θ，使得 |Yi - Yi_pred| == （Yi - Yi_pred）^2, 确保loss函数是连续的、可导的。这就是为什么公式中出现 -1/2*θ^2的原因。

（2）几何图形与物理意义

该函数有最小值
当 |Yi - Yi_pred| < θ, Loss = MSE" = 1/2 *（Yi - Yi_pred) *2
当 |Yi - Yi_pred| > θ, Loss = MAE" = θ * |Yi - Yi_pred| - 1/2 * θ*2
当 |Yi - Yi_pred| = θ, MSE = 1/2 *（Yi - Yi_pred) ^2 = 1/2 * θ ^2; MAE" = θ * |Yi - Yi_pred| - 1/2 * θ^2 = θ * θ - 1/2 * θ^2 = 1/2 * θ^2; => MSE" = MAE" = 1/2 * θ ^2, 即Loss函数在 |Yi - Yi_pred| = θ是连续的。
θ是超参数，程序员可以控制。