机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（14）：向量空间

Posted 2021-10-13 海轰Pro

文章目录

• 前言
• 往期文章
• 4.5 向量空间
• • 定义6
  • 定义7
  • 定义8
  • 举例
  • • 例18
    • 例19
    • 例20
    • 例21
    • 例24
• 结语

前言

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4.5 向量空间

定义6

设$V$为$n$维向量的集合，如果集合$V$非空，且集合$V$对于向量的加法和乘法两种运算封闭，那么就称集合$V$为向量空间

加法封闭：

若$a\in V,b\in V$，则$a+b\in V$

乘法封闭：

若$a\in V,\lambda \in R$，则$\lambda a\in V$

定义7

设$V$为向量空间，如果$r$个向量$a_1,a_2,...,a_r\in V$，且满足

• $a_1,a_2,...,a_r$线性无关
• $V$中任一向量都可由$a_1,a_2,...,a_r$线性表示

那么向量组$a_1,a_2,...,a_r$就称为向量空间$V$的一个基，$r$称为向量空间$V$的维数，并称$V$为$r$维向量空间

一般的，由向量组$a_1,a_2,...,a_m$所生产的向量空间为

L = { x = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + . . . . + λ m a m ∣ λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ∈ R } L=\\{x=\\lambda_1a_1+\\lambda_2a_2+....+\\lambda_ma_m|\\lambda_1,\\lambda_2,...,\\lambda_n\\in\\mathbb{R} \\} L={x=λ1​a1​+λ2​a2​+....+λm​am​∣λ1​,λ2​,...,λn​∈R}

Notes:

• 如果向量空间$V$没有基，那么V的维数为0
• 0维向量空间只含有一个零向量0
• 向量空间$V$的基就是向量组的最大无关组
• $V$的维数就是向量组的秩
• 任何$n$个线性无关的$n$维向量都可以是向量空间${\mathbb{R}}^n$的一个基，其维数为$n$，称其为$n$维向量空间

定义8

如果在向量空间$V$中取定一个基$a_1,a_2,...,a_r$，那么V中任一向量$x$都可惟一表示为

$$x={\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+...+{\lambda }_r{a}_r$$

数组${\lambda }_1,{\lambda }_2,....,{\lambda }_r$称为向量$x$在基$a_1,a_2,...,a_r$中的坐标

特别地，在$n$维向量空间${\mathbb{R}}^n$中取单位坐标向量组$e_1,e_2,...,e_n$为基，则以$x_1,x_2,...,x_n$为分量的向量$以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics\; for\; Machine\; Learning系列之线性代数（14）：向量空间的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$

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