bzoj3675[Apio2014]序列分割 斜率优化dp

Posted 2020-09-17 GXZlegend

原文地址：http://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/6835179.html

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题目描述

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

输入

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

输出

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

样例输入

7 3
4 1 3 4 0 2 3

样例输出

108

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题解

斜率优化dp

首先可以证得分割的顺序对答案没有影响。

设连续的3部分之和分别为a、b、c，则先分割ab再分割bc的分数为a*(b+c)+b*c=a*b+a*c+b*c，先分割bc再分割ab的分数为(a+b)*c+a*b=a*b+a*c+b*c，它们完全相同。

这样我们就可以从左到右按顺序依次分割。

设f[i][p]表示前i个数分割p次的最大分数，那么有f[i][p]=f[j][p-1]+(sum[i]-sum[j])*sum[j]

这样时间复杂度为O(n^2*p)，会TLE，需要优化。

将dp方程变形，得sum[j]*sum[j]-f[j][p-1]=sum[i]*sum[j]-f[i][p]，

这样可以斜率优化来解决，此时y=sum[j]*sum[j]-f[j][p-1]，k=sum[i]，x=sum[j]，均为正数（其实是故意这样移项的）。

然后要求的是f[i][p]的最大值，即-f[i][p]的最小值，所以应该维护一个上凸包。

另外需要开long long导致MLE，所以需要滚动数组。

#include <cstdio>
#define y(i , d) (sum[i] * sum[i] - f[i][d])
typedef long long ll;
ll sum[100010] , f[100010][2];
int q[100010];
int main()
{
	int n , k , i , j , l , r , d = 0;
	scanf("%d%d" , &n , &k);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lld" , &sum[i]) , sum[i] += sum[i - 1];
	for(j = 1 ; j <= k ; j ++ )
	{
		l = r = 0 , d ^= 1;
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		{
			while(l < r && y(q[l + 1] , d ^ 1) - y(q[l] , d ^ 1) <= sum[i] * (sum[q[l + 1]] - sum[q[l]])) l ++ ;
			f[i][d] = f[q[l]][d ^ 1] + (sum[i] - sum[q[l]]) * sum[q[l]];
			while(l < r && (y(i , d ^ 1) - y(q[r] , d ^ 1)) * (sum[q[r]] - sum[q[r - 1]]) <= (y(q[r] , d ^ 1) - y(q[r - 1] , d ^ 1)) * (sum[i] - sum[q[r]])) r -- ;
			q[++r] = i;
		}
	}
	printf("%lld\\n" , f[n][k & 1]);
	return 0;
}