AtCoder Regular Contest 126（补题）

Posted 2021-10-12 佐鼬Jun

A - Make 10

题目链接: link.

题意：

给A个长度为2的木棍，B个长度为3的木棍，C个长度为4的木棍，通过拼接木棍，最多能拼成多少个长度为10的木棍

思路：

由于长度为3的木棍要与其他木棍拼接成10的木棍(3322,334)，长度3木棍必须是偶数，所以就把长度为3的木棍的数量就当成⌊$\frac{B}{2}$⌋,记为D,如果D>0，且其他两种长度木棍数量也够和D组合，那么最优解里一定存在数字6和4的搭配(4可以是两个2),用反证法，如果最优解里面
不存在6和4的搭配，那么最优解里面一定是一堆2和4的搭配，那么拿出一个4或者两个2，得到的木棍数量一定大于等于(>=)最优解，这与最优解矛盾，所以一定要有6和4的搭配。由于数字2比数字4更具有灵活性，即数字2还可以单独形成数字10，而数字4不可以，所以优先用数字4再用2，所以用木棍优先级顺序就出来了，334，3322，442，4222，22222，这五种搭配，按照上述顺序来用就是最优解。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        ll A, B, C;  // 2，3，4
        cin >> A >> B >> C;
        B /= 2;
        ll res = 0;
        ll x = min(B, C);
        res += x;
        B -= x, C -= x;

        x = min(A / 2, B);
        res += x;
        B -= x;
        A -= 2 * x;

        x = min(A, C / 2);
        res += x;
        C -= 2 * x;
        A -= x;

        x = min(C, A / 3);
        res += x;
        A -= 3 * x;
        C -= x;

        cout << res + A / 5 << endl;
    }
}

B - Cross-free Matching

链接: link

题意：

现在一共有$2N$个点，$x$在$[1,N]$区间，$y$是0或1，现在输入$m$行，每行2个数字a,b，表示(a,0)点,(b,1)点之间有连线，现在从这$m$个连线中，选出$k$个，保证连线不相交(有交点就算相交)，输出最大k

思路：

先按照$a$从小到大，$b$从大到小的优先级来排序，然后用树状数组来存当前$b$前面最多连接了多少连线，由于提前排过序了，所以当前取出来的坐标的a值一定大于等于前面的坐标的a值，即$a_{now}$$>=$$a_{pre}$，又由于树状数组每次取出来的都是当前b值之前的值，所以在前面连好了最多的连线的情况下，现在在连接一条连线一定是不冲突的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
typedef pair<int, int> PII;
PII a[N];
int tr[N];
int n, m;

bool cmp(PII a, PII b) {
    if (a.first == b.first) return a.second > b.second;
    return a.first < b.first;
}
int lowbit(int x) { return x & -x; }

void modify(int now, int x) {
    for (int i = now; i <= n; i += lowbit(i)) {
        tr[i] = max(tr[i], x);
    }
}

int query(int now) {
    int res = 0;
    for (int i = now; i; i -= lowbit(i)) {
        res = max(res, tr[i]);
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> a[i].first >> a[i].second;
    }
    
    sort(a, a + m, cmp);
    int res = 0;
    
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int x = a[i].second;
        int cnt = query(x - 1) + 1;
        res = max(res, cnt);
        modify(x, cnt);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

C - Maximize GCD

链接: link.

题意：

给$n$个数，$a_1,a_2....a_n$，并且可以操作$k$次，每次操作可以选择使得一个数$a_i$加上$1$,问在操作最多$k$次情况下，整个数组的最大公约数最大是多少。

思路：

如果选定的最大公约数是$x$,那么所有数，一定都$(k-1)x<A_i<=kx$,要通过加数使得$A_i$变成$kx$,单独的一个数就是$kx-A_i$,对于整个数组来说，就是$\sum _{i=1}^n(kx-Ai)$,（注：对于每个数$A_i$,k是不一定相同的）， 把式子展开就变成了$\sum _{i=1}^{n}kx$$-$$\sum _{i=1}^n{A}_i$,，此时通过式子可发现，只需要提前处理出来$A_i$的前缀和，再枚举$x$，对于$x$,确定出不同的$k$出来，再看对于的$((k-1)x,kx]$(左开有闭)这个区间的前缀和即可。
最后还要注意的一点是，通过数据范围可以发现，$k$数据范围远大于$A_i$，所以可能出现，不停地加数，把A数组中的所有数，都加到非常大，写成公式形式就是，$cost=N\ast n-presum[N]$,把所有数变成上限N的操作数，如果$cost<=k$，那么最终的数就是$ans=N+(k-cost)/n$
具体的代码操作,先存储每个数出现的次数，且每个数的和，再提前预处理出来其每个数出现次数的前缀和，和每个数和的前缀和，然后再枚举最大公约数$x$,然后求$((k-1)x,kx]$这个区间的和，并用$kx\ast cnt-这个区间的和$，枚举x时，还要在内部不停的枚举其系数$k$

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N = 300010;
ll n, k;
ll cnt[N], sum[N];
ll p_cnt[N + 1], p_sum[N + 1];
int main() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        cnt[x] += 1;
        sum[x] += x;
    }
    
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        p_cnt[i] = p_cnt[i - 1] + cnt[i];
        p_sum[i] = p_sum[i - 1] + sum[i];
    }

    ll ans = 1;
    for (int i = 2; i < N; ++i) {
        ll L = 1, R = i;
        ll Cost = 0;
        while (L < N) {
            ll c_cnt = p_cnt[min(R, N)] - p_cnt[L - 1];
            ll s_sum = p_sum[min(R, N)] - p_sum<
以上是关于AtCoder Regular Contest 126（补题）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 刷题AtCoder Regular Contest 001
 AtCoder Regular Contest 094
 [Atcoder Regular Contest 060] Tutorial
 AtCoder Regular Contest 103
 AtCoder Regular Contest 128
 AtCoder Regular Contest 119 C